問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int {cos}^{2}2xdx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin4x+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

三角関数の次数下げ、1次化を図る．ここを参照．

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）　･･････(1)

${\displaystyle \int cosxdx=sinx+C}$　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \cos }$ の加法定理 より

${\displaystyle cos\left(2x+2x\right)}$${\displaystyle =cos2xcos2x-sin2xsin2x}$　･･････(3)

（三角関数の積和の公式の導出を参照）

${\displaystyle cos\left(2x-2x\right)}$${\displaystyle =cos2xcos2x+sin2xsin2x}$　･･････(4)

(3)+(4)より

${\displaystyle cos\left(2x+2x\right)+cos\left(2x-2x\right)}$${\displaystyle =2cos2xcos2x}$ 　　

${\displaystyle 2{cos}^{2}2x=cos4x+cos0}$

${\displaystyle {cos}^{2}2x}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(cos4x+cos0\right)}$

ここで，${\displaystyle cos0=1}$ 　なので，${\displaystyle {cos}^{2}2x=\frac{1}{2}\left(1+cos4x\right)}$ となる．（三角関数の積和の公式の${\displaystyle 2}$ つめの式を参照），半角の公式： ${\displaystyle {cos}^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+cos\alpha }{2}}$を用いてもよい．

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{2}\left(1+cos4x\right)dx}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\int dx+\int cos4xdx\right)}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{4}sin4x\right)+C}$ 　　

（方針の公式${\displaystyle \left(1\right)}$ ，${\displaystyle \left(2\right)}$ にあてはめた）

${\displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin4x+C}$ 　　

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin4x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle {cos}^{2}2x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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