不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int {sin}^{2} 2 x d x$ 　　

■答

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{8} sin 4 x + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

■ヒント

三角関数の次数下げ、1次化を図る．ここを参照．

基本となる関数の積分より

$\int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C$ 　　（ $C$ は積分定数）　･･････(1)

$\int cos x d x = sin x + C$ 　･･････(2) 　

の公式を用いる．

■解説

$\cos$ の加法定理より

$cos (2 x + 2 x)$ $= cos 2 x cos 2 x - sin 2 x sin 2 x$ 　･･････(3)

（三角関数の積和の公式の導出を参照）

$cos (2 x - 2 x)$ $= cos 2 x cos 2 x + sin 2 x sin 2 x$ 　･･････(4)

(3)－(4)より

$cos (2 x + 2 x) - cos (2 x - 2 x)$ $= - 2 sin 2 x sin 2 x$ 　　

$- 2 {sin}^{2} 2 x = cos 4 x - cos 0$ 　　

${sin}^{2} 2 x = - \frac{1}{2} (cos 4 x - cos 0)$ 　　

ここで， $cos 0 = 1$ なので， ${sin}^{2} 2 x = \frac{1}{2} (1 - cos 4 x)$ となる．（三角関数の積和の公式の 3 つ目の式を参照），半角の公式： ${sin}^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{2}$ を用いてもよい．

与式 $= \int \frac{1}{2} (1 - cos 4 x) d x$ 　

$= \frac{1}{2} (\int d x - \int cos 4 x d x)$

( $\frac{1}{2}$ を積分記号 $\int$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$= \frac{1}{2} (x - \frac{1}{4} sin 4 x) + C$ 　　

（方針の公式 $(1)$ ， $(2)$ にあてはめる）

$= \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} sin 4 x + C$ 　　

■確認問題

求まった答え $\frac{1}{2} x - \frac{1}{8} sin 4 x + C$ を微分し，積分前の式 ${sin}^{2} 2 x$ に戻ることを確認しなさい．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日