問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int xcosxdx}$ 　　

■答

${\displaystyle xsinx+cosx+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

部分積分法 より

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)}g\left(x\right)dx}$

の公式を用いる．

■解説

与式を

${\displaystyle \int xcosxdx=\int x·{\left(sinx\right)}^{\prime }dx}$

と式変形する．（${\displaystyle \cos x}$が ${\displaystyle {\left(\sin x\right)}^{\prime }}$ に変換できるのは， 微分 ${\displaystyle sinx}$ を参照）

与式${\displaystyle =\int x·{\left(sinx\right)}^{\prime }dx}$

（方針の公式にあてはめる）

${\displaystyle =x·sinx-\int {\left(x\right)}^{\prime }·sinxdx}$ 　　

${\displaystyle =x·sinx-\int sinxdx}$ 　　

（${\displaystyle {\left(x\right)}^{\prime }}$ が ${\displaystyle 1}$ になるのは，微分 ${\displaystyle x^{\alpha }}$ を参照）

${\displaystyle =xsinx+cosx+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

（三角関数の積分を参照）

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle xsinx+cosx+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle xcosx}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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