問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{{\cos }^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx}}$ 　　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}{\left({\cos }^{-1}x\right)}^2+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

${\displaystyle {\cos }^{-1}x}$ の微分の公式

${\displaystyle {\left({\cos }^{-1}x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$　･･････(1)

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha -1}+C}}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\cos }^{-1}x=t}$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ 　→　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-dt}$　･･････(3)

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int t\cdot \left(-1\right)}dt}$ 　

（与式に${\displaystyle {\cos }^{-1}x=t}$，(3)を代入した）

${\displaystyle =-{\displaystyle \int tdt}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{t}^2+C}$ 　　

（(2)の公式を用いた）

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\left({\cos }^{-1}x\right)}^2+C}$　　（$C$は積分定数）

（${\displaystyle t={\cos }^{-1}x}$ を代入した）

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年6月10日

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