問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4-8x}}dx}}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{1-2x}+C}$ 　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4-8x}}dx}}$

被積分関数を

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-8x}}=\frac{1}{2\sqrt{1-2x}}}$

と変形する

${\displaystyle 1-2x=t}$ と置き，置換積分する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2}$ 　→　${\displaystyle dx=-\frac{1}{2}dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{2\sqrt{t}}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)dt}}$

(${\displaystyle 1-2x=t}$，${\displaystyle dx=-\frac{1}{2}dt}$ を代入した)

${\displaystyle =-\frac{1}{4}{\displaystyle \int t^{-\frac{1}{2}}dt}}$

(ここを参照)

${\displaystyle =-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}{t}^{-\frac{1}{2}+1}+C}$ 　（$C$は積分定数）

（ヒントの公式(1)を参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}{t}^{\frac{1}{2}}+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\sqrt{t}+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\sqrt{1-2x}+C}$

(${\displaystyle 1-2x=t}$より変数を$t$から$x$に戻した)

●備考

この公式

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$

を使ってもよい．

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{1-2x}+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-8x}}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年6月16日

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