問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int 2x\log xdx}}$

■答

${\displaystyle x^2\log x-\frac{1}{2}{x}^2+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

部分積分法より

${\displaystyle {\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }}\left(x\right)}$　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int 2x\log xdx}}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=2x}$ , ${\displaystyle g\left(x\right)=\log x}$ とする部分積分をする．

${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ , ${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}}$　(ここを参照)

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle =\int 2x\log xdx}$

ヒントの公式(1)を適用する

${\displaystyle =x^2\log x-{\displaystyle \int \left(x^2\cdot \frac{1}{x}\right)dx}}$

${\displaystyle =x^2\log x-{\displaystyle \int xdx}}$

（ヒントの公式(2)を適用する

${\displaystyle =x^2\log x-\frac{1}{2}{x}^2+C}$　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle x^2\log x-\frac{1}{2}{x}^2+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle 2x\log x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年7月31日

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