不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int 2 x \log x d x$ $\int 2 x \log x d x$

$x^{2} \log x - \frac{1}{2} x^{2} + C$ $x^{2} \log x - \frac{1}{2} x^{2} + C$ （ $C$ $C$ は積分定数）

$\int f^{'} (x) g (x) d x$ $\int f^{'} (x) g (x) d x$ $= f (x) g (x) - \int f (x) g^{'} (x)$ $= f (x) g (x) - \int f (x) g^{'} (x)$ ･･････(1)

$\int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C$ $\int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C$ （ $C$ $C$ は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

$\int 2 x \log x d x$ $\int 2 x \log x d x$

$f^{'} (x) = 2 x$ $f^{'} (x) = 2 x$ , $g (x) = \log x$ $g (x) = \log x$ とする部分積分をする．

$f (x) = x^{2}$ $f (x) = x^{2}$ , $g^{'} (x) = \frac{1}{x}$ $g^{'} (x) = \frac{1}{x}$ (ここを参照)

与式 $= \int f^{'} (x) g (x) d x$ $= \int f^{'} (x) g (x) d x$

$= \int 2 x \log x d x$ $= \int 2 x \log x d x$

ヒントの公式(1)を適用する

$= x^{2} \log x - \int (x^{2} \cdot \frac{1}{x}) d x$ $= x^{2} \log x - \int (x^{2} \cdot \frac{1}{x}) d x$

$= x^{2} \log x - \int x d x$ $= x^{2} \log x - \int x d x$

（ヒントの公式(2)を適用する

$= x^{2} \log x - \frac{1}{2} x^{2} + C$ $= x^{2} \log x - \frac{1}{2} x^{2} + C$ （ $C$ $C$ は積分定数）

求まった答え $x^{2} \log x - \frac{1}{2} x^{2} + C$ $x^{2} \log x - \frac{1}{2} x^{2} + C$ を微分し，積分前の式 $2 x \log x$ $2 x \log x$ に戻ることを確認しなさい．

最終更新日： 2025年2月21日