定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$\int_{2}^{5} \frac{1}{2 x log 2 x} d x$ 　

$\frac{1}{2} log (\frac{log 10}{2 log 2})$ 　

$\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ 　

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (g (t)) g^{'} (t) d t$ 　

を用いる．

あらかじめ， $\int \frac{1}{2 x log 2 x} d x$ 　を求めておく．　

$log 2 x = t$ 　･･････(1)

とおいて置換積分をする．

$\frac{d t}{d x} = \frac{1}{x}$ 　　∴ $d t = \frac{1}{x} d x$ 　･･････(2)

（ $\log 2 x$ を微分すると $\frac{1}{x}$ になるのは微分 $log x$ 　を参照）

与式 $= \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\log 2 x} \cdot \frac{1}{x} d x$ 　

$= \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t} d t$ 　

上の式に(1)，(2)を代入する

$= \frac{1}{2} \cdot log t + C$ 　

（基本となる関数の積分を参照）
（ $C$ は積分定数）

ここで， $log 2 x = t$ と置換していることより

$x = 2$ 　のとき　 $t = log 4$ ， $x = 5$ 　のとき　 $t = log 10$

よって

$\int_{2}^{5} \frac{1}{2 x log 2 x} d x = \int_{log 4}^{log 10} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t} d t$ $= \frac{1}{2} {[log t]}_{log 4}^{log 10}$ 　

となる．

与式 $= \frac{1}{2} {[log t]}_{log 4}^{log 10}$ 　

$= \frac{1}{2} \{\log (\log 10) - \log (\log 4)\}$ 　

$= \frac{1}{2} log (\frac{log 10}{log 4})$ 　

$= \frac{1}{2} log (\frac{log 10}{log 2^{2}})$ 　

$= \frac{1}{2} log (\frac{log 10}{2 log 2})$ 　

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日