問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{cos2x}{3+sin2x}dx}$

■答

${\displaystyle \log 2-\frac{1}{2}\log 3}$

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$

置換積分法より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{cos2x}{3+sin2x}dx}$ 　を求めておく． 　

${\displaystyle 3+sin2x=t}$　　･･････(1)

とおいて置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2cos2x}$　→　${\displaystyle \frac{1}{2}dt=cos2xdx}$　･･････(2)

（${\displaystyle \sin 2x}$ を微分すると${\displaystyle 2\cos 2x}$ になるのは微分 ${\displaystyle sinx}$を参照）

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{3+\sin 2x}\cdot }\cos 2xdx}$

上の式に(1)，(2)を代入する．

${\displaystyle =\int \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{2}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt}$

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$が積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}logt+C}$

（基本となる関数の積分の${\displaystyle 2}$ 番目の式を参照）
（${\displaystyle C}$ は積分定数）

ここで， ${\displaystyle 3+sin2x=t}$ と置換しているので

${\displaystyle x=0}$ のとき　 ${\displaystyle t=3}$ , ${\displaystyle x=\frac{\pi }{4}}$ のとき　 ${\displaystyle t=4}$

だから

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{cos2x}{3+sin2x}dx=\frac{1}{2}{\int }_3^4\frac{1}{t}dt=\frac{1}{2}{\left[logt\right]}_3^4}$

（置換積分法を参照）

となる．

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[logt\right]}_3^4}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(log4-log3\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\log 2^2-\log 3\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(2\log 2-\log 3\right)}$

${\displaystyle =\log 2-\frac{1}{2}\log 3}$

（ ${\displaystyle {log}_a\frac{R}{S}={log}_{a}R-{log}_{a}S}$ の証明を参照）

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日

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