問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{8}{15}}$

■ヒント

置換積分法

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$ ･･････(1)

ウォリス積分

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx}$ を求めておく．

${\displaystyle x=sin\theta }$ ${\displaystyle \left(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)}$ ･･････(3)

とおいて置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=cos\theta }$ ∴ ${\displaystyle dx=cos\theta d\theta }$ ･･････(4)

（ ${\displaystyle sin\theta }$ を微分すると ${\displaystyle cos\theta }$ になるのは，微分 ${\displaystyle sinx}$ を参照）

よって

${\displaystyle \int \frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx}$ ${\displaystyle =\int \frac{{sin}^5\theta }{\sqrt{1-{sin}^2\theta }}cos\theta d\theta }$

ここで， ${\displaystyle 1-{sin}^2\theta ={cos}^2\theta }$ （三角関数の相互関係の ${\displaystyle 1}$ 番目の式を参照）より　

${\displaystyle \sqrt{1-{sin}^2\theta }=\sqrt{{cos}^2\theta }}$

${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$ なので， ${\displaystyle cos\theta \geqq 0}$ となり， ${\displaystyle \sqrt{{cos}^2\theta }=cos\theta }$ である．　

したがって

${\displaystyle =\int \frac{{sin}^5\theta }{cos\theta }cos\theta d\theta }$

${\displaystyle =\int {sin}^5\theta d\theta }$

次に， ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx}$ を求める．

はじめに　 ${\displaystyle x=sin\theta }$ と置換していることいり

${\displaystyle x=0}$ のとき ${\displaystyle \theta =0}$ ,　 ${\displaystyle x=1}$ のとき ${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2}}$

よって，ヒントの式(1)より

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^5\theta d\theta }$

となる．

ヒントの式(2)のを適用する． ${\displaystyle n}$ に代入する値が ${\displaystyle 5}$ （奇数）となる

${\displaystyle =\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1}$

${\displaystyle =\frac{8}{15}}$

●別解

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\left(x^2\right)}^2\cdot x}{\sqrt{1-x^2}}dx}}$

${\displaystyle 1-x^2=t}$ とおく置換積分で計算する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2x}$ より ${\displaystyle xdx=-\frac{1}{2}dt}$

${\displaystyle x:0\to 1}$ のとき ${\displaystyle t:1\to 0}$

$x^2=1-t$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^0\frac{{\left(1-t\right)}^2}{\sqrt{t}}\left(-\frac{1}{2}dt\right)}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_1^0\frac{1-2t+t^2}{\sqrt{t}}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1-2t+t^2}{\sqrt{t}}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^1\left(t^{-\frac{1}{2}}-2t^{\frac{1}{2}}+t^{\frac{3}{2}}\right)dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[2t^{\frac{1}{2}}-\frac{4}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}{t}^{\frac{5}{2}}\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(2-\frac{4}{3}+\frac{2}{5}\right)}$

${\displaystyle ==\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}$

${\displaystyle =\frac{8}{15}}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月21日

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