問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(1)

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \frac{1}{cosx}dx}$ を ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ と置換して解きなさい．

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}log\left(\frac{1+sinx}{1-sinx}\right)}$

■ヒント

手順1：
半角の公式または 2倍角の公式を用いて ${\displaystyle cosx}$ を ${\displaystyle t}$ の式に変換する．

手順2：
${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ を微分し， ${\displaystyle dx}$ と ${\displaystyle dt}$ の関係式を求める．

手順3：
求まった2つの式を問題に代入し，答を求める．

■解説

まず ${\displaystyle cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$ を導く．

${\displaystyle cosx}$ ${\displaystyle =cos2·\frac{x}{2}}$ ${\displaystyle ={cos}^2\frac{x}{2}-{sin}^2\frac{x}{2}}$

（ この計算過程については，2倍角の公式を参照．また，半角の公式を用いて導く方法は， ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ とおく置換積分を参照)

${\displaystyle ={cos}^2\frac{x}{2}\left(1-\frac{{sin}^2\frac{x}{2}}{{cos}^2\frac{x}{2}}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{1+{tan}^2\frac{x}{2}}·\left(1-{tan}^2\frac{x}{2}\right)}$

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1-t^2}{1+t^2}}$

（ ${\displaystyle tan\frac{x}{2}}$ を ${\displaystyle t}$ に置き換える）

次に， ${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$ を導く．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}={\left(tan\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle ={\left(\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}\right)}^{\prime }}$

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$

（ 微分計算の詳細については，導関数の基本式 I を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·\frac{1}{2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+{tan}^2\frac{x}{2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+t^2\right)}$

よって， ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}{2}}$ より，

${\displaystyle dt=\frac{1+t^2}{2}dx}$

つまり，

${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$

最後に，これらの式を問題に代入し，答を導く．

${\displaystyle \int \frac{1}{cosx}dx}$ ${\displaystyle =\int \frac{1+t^2}{1-t^2}·\frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{2}{1-t^2}dt}$

${\displaystyle =\int 2·\frac{1}{2}·\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt}$

（ ${\displaystyle \frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)}$ については，部分分数に分解する手順を参照 ）

${\displaystyle =\int \left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt}$

${\displaystyle =log\left|1+t\right|+{\left(1-t\right)}^{\prime }log\left|1-t\right|+C}$

${\displaystyle =log\left|1+t\right|-log\left|1-t\right|+C}$

${\displaystyle =log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C}$

${\displaystyle =log\left|\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}\right|+C}$

（ 置換した ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ を元に戻す ）

また，この解を変形すると以下のような式が得られる．

${\displaystyle log\left|\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}\right|}$ ${\displaystyle =log\left|\frac{1+\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}}{1-\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}}\right|}$

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

${\displaystyle =log\left|\frac{cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}}\right|}$

（ 分母と分子に，それぞれ ${\displaystyle cos\frac{x}{2}}$ をかける ）

（ ${\displaystyle \frac{cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2}}=1}$ である ）

${\displaystyle =log\left|\frac{{cos}^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{sin}^2\frac{x}{2}}{{cos}^2\frac{x}{2}-{sin}^2\frac{x}{2}}\right|}$

（ 2倍角の公式より， ${\displaystyle 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=sinx}$ ， ${\displaystyle {cos}^2\frac{x}{2}-{sin}^2\frac{x}{2}=cosx}$ ）

${\displaystyle =log\frac{\left|1+sinx\right|}{\left|cosx\right|}}$

（ ${\displaystyle log\frac{\left|1+sinx\right|}{\left|cosx\right|}}$ と ${\displaystyle log\left|\frac{1+sinx}{cosx}\right|}$ は同じものである．また， ${\displaystyle {cos}^{2}x+{sin}^{2}x=1}$ より， ${\displaystyle \left|cosx\right|=\sqrt{1-{sin}^{2}x}}$ ）

${\displaystyle =log\frac{\left|1+sinx\right|}{\left|\sqrt{1-{sin}^{2}x}\right|}}$

${\displaystyle =log\left|\frac{\sqrt{1+sinx}·\sqrt{1+sinx}}{\sqrt{1-sinx}·\sqrt{1+sinx}}\right|}$

（ 分母と分子に共通因数 ${\displaystyle \sqrt{1+sinx}}$ があるので約分する）

${\displaystyle =log\left|\frac{\sqrt{1+sinx}}{\sqrt{1-sinx}}\right|}$

${\displaystyle =log{\left|\frac{1+sinx}{1-sinx}\right|}^{\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|\frac{1+sinx}{1-sinx}\right|}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left(\frac{1+sinx}{1-sinx}\right)}$

（ ${\displaystyle \cos x\ne 0}$ が前提になっているので， ${\displaystyle -1<sinx<1}$ となる．よって，真数の値が負になることはないため，絶対値の記号がとれる）

この解は，別の置換方法を用いて導いた場合に得られる解である．詳しくはここを参照．

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle log\left|\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}\right|+C}$ ， ${\displaystyle \frac{1}{2}log\left(\frac{1+sinx}{1-sinx}\right)}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{1}{cosx}}$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年3月7日

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