逆関数の不定積分

■問題

次の不定積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\tan }^{-1}x}dx}$

■答

${\displaystyle x{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\log (1+x^2)+C}$（Cは不定積分）

■ヒント

部分積分法 を利用して解く．

今回の問題は, ${\displaystyle f(x)}$ と ${\displaystyle g(x)}$ の関係を逆にした表現 の[不定積分]を利用する.

■解説

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int {\tan }^{-1}xdx}\\ \end{array}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int 1\cdot {\tan }^{-1}xdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int (x{)}^{\prime }\cdot {\tan }^{-1}xdx}}$

${\displaystyle =x\cdot {\tan }^{-1}x-{\displaystyle \int }x\cdot \frac{1}{1+x^2}dx}$

（復習:アークタンジェントの微分）

ここで

${\displaystyle {\displaystyle \int x\cdot \frac{1}{1+x^2}}dx \; }$ ･････(1)

置換積分で，${\displaystyle 1+x^2=t}$ とおく．･････(2)

両辺を${\displaystyle x}$ で微分すると，

${\displaystyle 2x=\frac{dt}{dx}}$

${\displaystyle xdx=\frac{1}{2}dt}$ となる．･･････(3)

(1)に(2)(3)を代入して，

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{2t}}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{1}{t}}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|t\right|+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(1+x^2\right)+C}$

よって

${\displaystyle =x{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\log (1+x^2)+C}$（Cは不定積分）

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最終更新日： 2023年11月14日