|
|||||||||||||
|
|||||||||||||
|
定数係数線形微分方程式
f(D)y=keax ・・・・・・(1)
について(2) f(a)=0 であり , t=a が特性方程式 f(t)=0 の1重の解であれば,この微分方程式はy=Axeax という形の特殊解をもつ.
f(t) がn 次の多項式とする.(ただし tn の係数は1とする)
f(t)=0 はt=a で1重の解であるとすると
f(t)=(t−a)g(t) g(a)≠0
と表すことができる.
(1)の解を逆演算子を用いて表すと
y=1f(D)keax=1(D−a)g(D)keax
となる.
1g(D)keax
この公式より
=k1g(D)eax
g(a)≠0 より,この公式を利用すると
=k1g(a)eax=kg(a)eax
よって
y=1D−a{kg(a)eax}
この公式より
=kg(a)1D−aeax
この公式より
=kg(a)eax1De−axeax=kg(a)eax1D1=kg(a)eaxx=kg(a)xeax
kg(a)=A とおくと
y=Axeax
f(t) がn 次の多項式とする.(ただし tn の係数は1とする)
f(t)=0 の解をa,b1,b2,⋯,bn−1とすると,(ただし a≠bi ,i=1,2,⋯,n−1)
と表すことができる.
(1)式を逆演算子を使って解を表すと
y=1f(D)keax
この公式より
=k1f(D)eax
(2)より
この公式より
e−axeax=1eaxeax=1より
1この公式より
この公式より
指数法則より
この公式より
積分のやり方はこちら
eb1xe(a−b1)x=eaxより
分配法則より
−k(a−b1)2(a−bn−1)⋯(a−b2)eax はf(D)y=0 の一般解
に含まれる.すなわち(1)の一般解に含まれる.
よって,特殊解としては,これを省略し
となる.この式を上と同様にして解くと
となる.同様に第2項は一般解に含まれる.よって省略すると
同様にして計算を繰り返すと
y=k(a−b1)(a−b2)⋯(a−bn−1)xeax
となる.ここで
k(a−b1)(a−b2)⋯(a−bn−1)=A
とおくと
y=Axeax
となる.
ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>非同次項が eax のとき>>定数係数線形微分方程式の非同次項がe^(ax)のときの解の導出
学生スタッフ作成
最終更新日:
2024年5月17日