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応用分野: 非同次項がsinとcosのとき非同次項がeのとき

定数係数線形微分方程式の非同次項がeax のときの解の導出

定数係数線形微分方程式

f(D)y=keax ・・・・・・(1)

について

(2)   f(a)=0 であり , t=a特性方程式 f(t)=0 の1重の解であれば,この微分方程式y=Axeax という形の特殊解をもつ.

■導出1

f(t)n 次の多項式とする.(ただし tn の係数は1とする)

f(t)=0t=a で1重の解であるとすると

f(t)=(ta)g(t)         g(a)0

と表すことができる.

(1)の解を逆演算子を用いて表すと

y=1f(D)keax=1(Da)g(D)keax

となる.

1g(D)keax

この公式より 

=k1g(D)eax

g(a)0 より,この公式を利用すると

=k1g(a)eax=kg(a)eax

よって

y=1Da{kg(a)eax}

この公式より 

=kg(a)1Daeax

この公式より

=kg(a)eax1Deaxeax=kg(a)eax1D1=kg(a)eaxx=kg(a)xeax

kg(a)=A とおくと

y=Axeax

■導出2

f(t)n 次の多項式とする.(ただし tn の係数は1とする)

f(t)=0 の解をa,b1,b2,,bn1とすると,(ただし abii=1,2,,n1)

f(t)=(tbn1)(tb2)(tb1)(ta)  ・・・・・・(2)

と表すことができる.

(1)式を逆演算子を使って解を表すと

y=1f(D)keax

この公式より

=k1f(D)eax

(2)より

=k1(Dbn1)(Db2)(Db1)(Da)eax

=k1(Dbn1)(Db2)(Db1)[1Daeax]

この公式より

=k1(Dbn1)(Db2)(Db1)[eax1Deaxeax]

eaxeax=1eaxeax=1より

=k1(Dbn1)(Db2)(Db1)[eax1D1]

1この公式より

=k1(Dbn1)(Db2)(Db1)[eaxdx]

=k1(Dbn1)(Db2)(Db1)[eaxx]

=k1(Dbn1)(Db2)(Db1)xeax

=k1(Dbn1)(Db2)[1Db1xeax]

この公式より

=k1(Dbn1)(Db2)[eb1x1Deb1xxeax]

指数法則より

=k1(Dbn1)(Db2)[eb1x1Dxe(ab1)x]

この公式より

=k1(Dbn1)(Db2)[eb1xxe(ab1)xdx]

積分のやり方はこちら

=k1(Dbn1)(Db2)[eb1x{1ab1xe(ab1)x1(ab1)2e(ab1)x}]

eb1xe(ab1)x=eaxより

=k1(Dbn1)(Db2)[1ab1xeax1(ab1)2eax]

分配法則より

=k1(Dbn1)(Db2)(1ab1xeax)k1(Dbn1)(Db2)(1(ab1)2eax)

=kab11(Dbn1)(Db2)xeaxk(ab1)21(Dbn1)(Db2)eax

=kab11(Dbn1)(Db2)xeaxk(ab1)2(abn1)(ab2)eax

k(ab1)2(abn1)(ab2)eax  はf(D)y=0 の一般解

y=c1eax+c2eb1x+c3eb2x++cnebn1x

に含まれる.すなわち(1)の一般解に含まれる.

よって,特殊解としては,これを省略し

y=kab11(Dbn1)(Db2)xeax

=kab11(Dbn1)(Db3)[1Db2xeax]

となる.この式を上と同様にして解くと

y=k(ab1)(ab2)1(Dbn1)(Db3)xeaxk(ab1)(ab2)2(abn1)(ab3)eax

となる.同様に第2項は一般解に含まれる.よって省略すると

y=k(ab1)(ab2)1(Dbn1)(Db3)xeax

同様にして計算を繰り返すと

y=k(ab1)(ab2)(abn1)xeax

となる.ここで

k(ab1)(ab2)(abn1)=A

とおくと

y=Axeax

となる.

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最終更新日: 2024年5月17日

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