平均値の定理
 関数 f が閉区間
[ a,b ]
で連続，開区間
( a,b ) で微分可能ならば，
f( b )−f( a ) b−a = f ′ ( c ) ( a<c<b )
となる cが少なくとも1つ存在する．
【別表現】
a<c<b
より
c=a+θh
(
h=b−a
，
0<θ<1
)
と置き換えると，平均値の定理は
となる．
■証明
2点
a,f
a
，
b,f
b
を結ぶ線分をグラフとする関数
g
x
は
g
x
=f
a
+
f
b
−f
a
b−a
x−a
a≤x≤b
となる．
h
x
=f
x
−g
x
=f
x
−f
a
−
f
b
−f
a
b−a
x−a
･････(1)
とおく．
- 仮定より，関数
h
x
は閉区間
a,b
で連続，開区間
a,b
で微分可能である．
h
a
=f
a
−f
a
−
f
b
−f
a
b−a
a−a
=0
h
b
=f
b
−f
a
−
f
b
−f
a
b−a
b−a
=0
h
x
はi，ii，iiiよりロルの定理の条件を満たしている．よって
「
h
′
c
=0
となるとなる
c
a<c<b
が少なくとも1つ存在する．」 ･････(2)
(1)より
h
′
x
=
f
′
x
−
f
b
−f
a
b−a
･････(3)
となり，(2)を(3)を使って書き換えると平均値の定理を得る．
【参考図書】
Calculus 7E 著者：James Stewart 出版社：Brooks/Cole Pub Co
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最終更新日：
2022年5月30日
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