偏導関数

ある領域 D で2変数関数 ${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$ は偏微分可能であるとする．領域 Dの各点 ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ に対して， ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ におけるx に関する偏微分係数を対応させた関数を x に関する偏導関数といい${\displaystyle f_x\left(x,y\right)}$ と表わす．すなわち， x に関する偏導関数を

${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}{h}}$  

と定義する．

同様に， 領域 Dの各点 ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ に対して， ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ における y に関する偏微分係数を対応させた関数を y に関する偏導関数といい ${\displaystyle f_y\left(x,y\right)}$ と表わす．すなわち， y に関する偏導関数を

${\displaystyle f_y\left(x,y\right)=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f\left(x,y+k\right)-f\left(x,y\right)}{k}}$  

と定義する．

■偏微分の表記

$f_x\left(x,y\right)$ は以下のように表記する場合もある．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$ ，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$

$f_y\left(x,y\right)$ は以下のように表記する場合もある．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$ ，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$

 

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最終更新日： 2025年2月8日