微分可能

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ について，極限

${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}$

が存在すれば， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は ${\displaystyle x=a}$ で微分可能であるという． 区間Iの各点で微分可能ならば， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は区間Iで微分可能であるという．この極限値のことを，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の ${\displaystyle x=a}$ における微分係数といい ${\displaystyle f^{\prime }\left(a\right)}$ で表す．

■参考

${\displaystyle y=\left|x\right|}$ は ${\displaystyle x=0}$ で微分可能ではない．なぜなら，

$x$ をプラス側からゼロに近づけた場合，

${\displaystyle \underset{h\to +0}{lim}\frac{\left|0+h\right|-\left|0\right|}{h}}$ ${\displaystyle =\underset{h\to +0}{lim}\frac{\left(0+h\right)-0}{h}=1}$

$x$ をマイナス側からゼロに近づけた場合，

${\displaystyle \underset{h\to -0}{lim}\frac{\left|0+h\right|-\left|0\right|}{h}}$ ${\displaystyle =\underset{h\to +0}{lim}\frac{-\left(0+h\right)-0}{h}=-1}$

となり， ${\displaystyle x=0}$ において ${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}}$ の値が1つに定まらないからである．

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最終更新日： 2025年2月21日

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