オイラーの公式  

${\displaystyle e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta }$  

■導出計算

${\displaystyle e^x}$  をマクローリン展開すると，

${\displaystyle e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{4!}{x}^4+}$${\displaystyle \cdots \cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\cdots \cdots }$ ･･････(1)

(1)のx に形式的に${\displaystyle i\theta }$ を代入して計算してみると，

${\displaystyle {\displaystyle e^{i\theta }=1+\left(i\theta \right)+\frac{1}{2!}{\left(i\theta \right)}^2+\frac{1}{3!}{\left(i\theta \right)}^3}}$${\displaystyle +\frac{1}{4!}{\left(i\theta \right)}^4+\frac{1}{5!}{\left(i\theta \right)}^5+\frac{1}{6!}{\left(i\theta \right)}^6+\frac{1}{7!}{\left(i\theta \right)}^7}$${\displaystyle +\cdots \cdots }$

${\displaystyle =1+i\theta -\frac{1}{2!}{\theta }^2-\frac{1}{3!}i{\theta }^3+\frac{1}{4!}{\theta }^4}$${\displaystyle +\frac{1}{5!}i{\theta }^5-\frac{1}{6!}{\theta }^6-\frac{1}{7!}i{\theta }^7+\cdots \cdots }$

${\displaystyle =\left(1-\frac{1}{2!}{\theta }^2+\frac{1}{4!}{\theta }^4-\frac{1}{6!}{\theta }^6+\cdots \cdots \right)}$${\displaystyle +i\left(\theta -\frac{1}{3!}{\theta }^3+\frac{1}{5!}{\theta }^5-\frac{1}{7!}{\theta }^7+\cdots \cdots \right)}$  ･･････(2)

${\displaystyle cos\theta }$  のマクローリン展開は，

${\displaystyle cos\theta =1-\frac{1}{2!}{\theta }^2+\frac{1}{4!}{\theta }^4-\frac{1}{5!}{\theta }^6+\cdots \cdots }$  ･･････(3)

${\displaystyle sin\theta }$  のマクローリン展開は，

${\displaystyle sin\theta =\theta -\frac{1}{3!}{\theta }^3+\frac{1}{5!}{\theta }^5-\frac{1}{7!}{\theta }^7+\cdots \cdots }$  ･･････(4)

(2)に(3)，(4)を代入すると，

${\displaystyle e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta }$  

となり，オイラーの公式（Euler"s Formula）が得られた．

複素数における指数関数の定義を参照

 

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最終更新日： 2022年12月15日