線形写像であるための必要十分条件の証明

■「${\displaystyle f\left(x\right)=Ax\to f\left(x_1+x_2\right)}$${\displaystyle =f\left(x_1\right)}$${\displaystyle +f\left(x_2\right)}$，${\displaystyle f\left(k{x}_1\right)=kf\left(x_1\right)}$」の証明

${\displaystyle f\left(x_1+x_2\right)=A\left(x_1+x_2\right)}$　 （ ${\displaystyle \because }$ ${\displaystyle f\left(x\right)=Ax}$ より）

${\displaystyle =A{x}_1+A{x}_2}$　 （ ${\displaystyle \because }$ 行列の計算則より）

${\displaystyle =f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}$　 （ ${\displaystyle \because }$ ${\displaystyle Ax=f\left(x\right)}$ より）

${\displaystyle f\left(k{x}_1\right)=A\left(k{x}_1\right)}$　 （ ${\displaystyle \because }$ ${\displaystyle f\left(x\right)=Ax}$ より）

${\displaystyle =kA{x}_1}$　 ( ${\displaystyle \because }$ 行列の計算則より）

${\displaystyle =kf\left(x_1\right)}$　 （ ${\displaystyle \because }$ ${\displaystyle Ax=f\left(x\right)}$ より）

以上より証明できた．

■「${\displaystyle f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}$ ，${\displaystyle f\left(k{x}_1\right)=kf\left(x_1\right)\to f\left(x\right)=Ax}$ 」の証明

${\displaystyle m}$ 次元ベクトル空間である集合${\displaystyle X}$の要素${\displaystyle x}$を${\displaystyle n}$次元ベクトル空間である集合${\displaystyle Y}$の要素${\displaystyle y}$に対応させる写像を${\displaystyle f}$とする．式で表すと

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$

となる．

${\displaystyle m}$ 次元ベクトル空間の基本ベクトルを

とし

${\displaystyle x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)}$

とする．

${\displaystyle x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)}$

${\displaystyle =x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots +x_m{e}_m}$

よって

${\displaystyle f\left(x\right)=f\left(x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots +x_m{e}_m\right)}$

${\displaystyle f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}$が成り立つことより

${\displaystyle =f\left(x_1{e}_1\right)+f\left(x_2{e}_2\right)+\cdots +f\left(x_m{e}_m\right)}$

${\displaystyle f\left(k{x}_1\right)}$ ${\displaystyle =kf\left(x_1\right)}$が成り立つことより

${\displaystyle =x_{1}f\left(e_1\right)+x_{2}f\left(e_2\right)+\cdots +x_{m}f\left(e_m\right)}$

${\displaystyle =x_1{a}_1+x_2{a}_2+\cdots +x_m{a}_m}$

${\displaystyle =\left(a_1,a_2,\cdots ,a_m\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)}$    ⇒詳細計算はここ

${\displaystyle =Ax}$

すなわち

${\displaystyle f\left(x\right)=Ax}$

したがって，線形写像の定義より，2つの条件

${\displaystyle f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}$ ，${\displaystyle f\left(k{x}_1\right)=kf\left(x_1\right)}$

を満たせば，写像${\displaystyle f}$ は線形写像である．

■備考

線形写像${\displaystyle f}$ の表現行列は ${\displaystyle A}$となる．

${\displaystyle A=\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)}$

${\displaystyle =\left(f\left(e_1\right),f\left(e_2\right),\cdots ,f\left(e_n\right)\right)}$

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最終更新日： 2023年2月9日