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置換積分法

$x=g\left(t\right)$ の関係に置換したとき，

【不定積分】

• ${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)\frac{dx}{dt}dt}$
• ${\displaystyle =\int f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$

【定積分】

• ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(x\right)\frac{dx}{dt}dt}$
• ${\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$

（ただし，$g\left(\alpha \right)=a$， $g\left(\beta \right)=b$）

となる．

■置換方法の例

　ここを参照のこと．

■関連動画

■解説

置換積分の公式は合成関数の微分の公式に対応するものである．

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$  の原始関数の1つを${\displaystyle F\left(x\right)}$  とすると，

${\displaystyle F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)}$  ・・・・・・(1)

${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C}$  （C ：積分定数）・・・・・・(2)

の関係がある．

また，${\displaystyle x=g\left(t\right)}$ の関係があると， 関数${\displaystyle F\left(x\right)}$  は，

${\displaystyle F\left(x\right)=F\left(g\left(t\right)\right)}$  ・・・・・・(3)

となる．${\displaystyle F\left(g\left(t\right)\right)}$ を変数t  で微分すると，合成関数の微分より，

${\displaystyle {\left\{F\left(g\left(t\right)\right)\right\}}^{\prime }=F^{\prime }\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)}$  ・・・・・・(4)

両辺を変数t  で積分すると

${\displaystyle \int {\left\{F\left(g\left(t\right)\right)\right\}}^{\prime }dt+C=\int F^{\prime }\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$     （積分定数C を左辺にまとめて入れている）

${\displaystyle F\left(g\left(t\right)\right)+C=\int F^{\prime }\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$        ・・・・・・(5)

${\displaystyle g\left(t\right)=x}$  を(5)の左辺に適用すると，

${\displaystyle F\left(x\right)+C=\int F^{\prime }\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$  ・・・・・・(6)

(1)，(2)を(6)に適用すると，

${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=\int f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$  

となり，置換積分の公式が得られる．

あるいは，x  がt の関数であると考えると，

${\displaystyle dx=\frac{dx}{dt}dt}$  

であるので，簡単に置換積分の公式が得られる．微分形式を参照のこと．

定積分において，積分範囲はxが${\displaystyle a\to b}$ に変化するとき， t が ${\displaystyle \alpha \to \beta }$ に変化するので，積分範囲を変更する必要がある．

 

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最終更新日： 2024年5月17日

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