放物線の定積分

∫ α β ( x−α )( x−β )dx =− 1 6 ( β−α ) 3

　放物線　 y=a x 2 +bx+c 　とｘ軸がなす2つの交点（解）が x=α,β でかつ，
　積分範囲が α≦x≦β の場合に利用する．
　（2次関数（放物線）と2次方程式については，関数を参照．）

■導出

●その1

f( x )=( x−α )( x−β ) 　とし，これを定積分の公式

∫ a b f( x )dx= [ F( x ) ] a b =F( b )−F( a )

にあてはめる．（ F( x ) は f( x ) の原始関数である．）

∫ α β ( x−α )( x−β )dx

= ∫ α β { x 2 −( α+β )x+αβ }dx

= ∫ α β x 2 dx −( α+β ) ∫ α β xdx +αβ ∫ α β dx

= 1 3 [ x 3 ] α β −( α+β )· 1 2 [ x 2 ] α β +αβ [ x ] α β

= 1 3 ( β 3 − α 3 )−( α+β )· 1 2 ( β 2 − α 2 )+αβ( β−α )
　 ( β 3 − α 3 ) ， ( β 2 − α 2 )
　については因数分解の公式を参照

= 1 3 ( β−α )( β 2 +αβ+ α 2 )− 1 2 ( α+β ) 2 ( β−α )+αβ( β−α )

=( β−α ){ 1 3 ( β 2 +αβ+ α 2 )− 1 2 ( α+β ) 2 +αβ }

=( β−α )( 1 3 β 2 + 1 3 αβ+ 1 3 α 2 − 1 2 α 2 −αβ− 1 2 β 2 +αβ )

=( β−α )( − 1 6 β 2 + 2 6 αβ− 1 6 α 2 )

=− 1 6 ( β−α )( β 2 −2αβ+ α 2 )

=− 1 6 ( β−α ) 3

●その2

部分積分法を用いる．

{ 1 2 ( x−α ) 2 } ′ =( x−α ) 　より，

f( x )=( x−α ) ， g( x )=( x−β ) 　として部分積分を行う．（その1の f( x ) とは無関係である）

∫ α β ( x−α )( x−β )dx

= ∫ α β { 1 2 ( x−α ) 2 } ′ ( x−β )dx 　　部分積分法の公式より，
　　 ∫ f ′ ( x )g( x )dx

= 1 2 [ ( x−α ) 2 ( x−β ) ] α β − 1 2 ∫ α β ( x−α ) 2 ( x−β ) ′ dx
　　 =f( x )g( x )−∫ f( x ) g ′ ( x )dx

= 1 2 { ( β−α ) 2 ( β−β )− ( α−α ) 2 ( α−β ) }− 1 2 ∫ α β ( x−α ) 2 dx

=0− 1 2 · 1 3 [ ( x−α ) 3 ] α β

=− 1 6 { ( β−α ) 3 − ( α−α ) 3 }

=− 1 6 ( β−α ) 3

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初版：2007年11月7日，最終更新日： 2007年11月14日

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