放物線の定積分
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放物線の定積分

α β ( xα )( xβ )dx = 1 6 ( βα ) 3

 放物線  y=a x 2 +bx+c  とx軸がなす2つの交点(解)が x=α,β でかつ,
 積分範囲が αxβ の場合に利用する.
 (2次関数(放物線)と2次方程式については,関数を参照.)

■導出

●その1

f( x )=( xα )( xβ )  とし,これを定積分の公式

a b f( x )dx= [ F( x ) ] a b =F( b )F( a )

にあてはめる.( F( x ) f( x ) 原始関数である.)

α β ( xα )( xβ )dx

= α β { x 2 ( α+β )x+αβ }dx

= α β x 2 dx ( α+β ) α β xdx +αβ α β dx

= 1 3 [ x 3 ] α β ( α+β )· 1 2 [ x 2 ] α β +αβ [ x ] α β

= 1 3 ( β 3 α 3 )( α+β )· 1 2 ( β 2 α 2 )+αβ( βα )

  ( β 3 α 3 ) ( β 2 α 2 )
 については因数分解の公式を参照

= 1 3 ( βα )( β 2 +αβ+ α 2 ) 1 2 ( α+β ) 2 ( βα )+αβ( βα )

=( βα ){ 1 3 ( β 2 +αβ+ α 2 ) 1 2 ( α+β ) 2 +αβ }

=( βα )( 1 3 β 2 + 1 3 αβ+ 1 3 α 2 1 2 α 2 αβ 1 2 β 2 +αβ )

=( βα )( 1 6 β 2 + 2 6 αβ 1 6 α 2 )

= 1 6 ( βα )( β 2 2αβ+ α 2 )

= 1 6 ( βα ) 3


●その2

部分積分法を用いる.

{ 1 2 ( xα ) 2 } =( xα )  より,

f( x )=( xα ) g( x )=( xβ )  として部分積分を行う.(その1の f( x ) とは無関係である)

α β ( xα )( xβ )dx

= α β { 1 2 ( xα ) 2 } ( xβ )dx
  部分積分法の公式より,
   f ( x )g( x )dx

= 1 2 [ ( xα ) 2 ( xβ ) ] α β 1 2 α β ( xα ) 2 ( xβ ) dx

   =f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx

= 1 2 { ( βα ) 2 ( ββ ) ( αα ) 2 ( αβ ) } 1 2 α β ( xα ) 2 dx

=0 1 2 · 1 3 [ ( xα ) 3 ] α β

= 1 6 { ( βα ) 3 ( αα ) 3 }

= 1 6 ( βα ) 3


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初版:2007年11月7日,最終更新日: 2007年11月14日

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