ベルヌーイの微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$\frac{d y}{d x} + x y = - x y^{3}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{C e^{x^{2}} - 1}}$ 　（ $C$ は任意定数）

ベルヌーイ微分方程式の解法

$y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$ 　　( $n \neq 0, 1$ )

$z = y^{1 - n}$ とおいて，これを $x$ と $z$ の微分方程式に書き換えれば，線形微分方程式になる．

(⇒詳しくはこちら)

$\frac{d y}{d x} + x y = - x y^{3}$ ･･････(1)

$z = y^{- 2}$ ･･････(2)

とおき，(2)式を $x$ で微分すると

$z^{'} = - 2 y^{- 3} y^{'}$

$z^{'} = - \frac{2}{y^{3}} y^{'}$

この式の両辺に $- \frac{1}{2} y^{3}$ をかけ，左辺と右辺を入れ換えると

$y^{'} = - \frac{1}{2} y^{3} z^{'}$

これを(1)式に代入すると

$- \frac{1}{2} y^{3} z^{'} + x y = - x y^{3}$

この式の両辺を $- y^{3}$ で割ると

$\frac{1}{2} z^{'} - \frac{x}{y^{2}} = x$

さらに両辺に $2$ をかけると

$z^{'} - \frac{2 x}{y^{2}} = 2 x$ ･･････(3)

$z = y^{- 2} = \frac{1}{y^{2}}$ なので(3)式に代入すると

$z^{'} - 2 x z = 2 x$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

(⇒詳しくはこちら)

線形微分方程式

$y^{'} + P (x) y = Q (x)$

の一般解は

$y = e^{- \int P d x} (\int Q e^{\int P d x} d x + C)$ 　（ $C$ は任意定数）

このことを利用すると

$z = e^{\int 2 x d x} (\int 2 x e^{- \int 2 x d x} d x + C)$

積分すると

$z$ $= e^{x^{2}} (\int 2 x e^{- x^{2}} d x + C)$

⇒積分方法はこちら

$= e^{x^{2}} (- e^{- x^{2}} + C)$

$= C e^{x^{2}} - 1$

$z = \frac{1}{y^{2}}$ を代入すると

$\frac{1}{y^{2}} = C e^{x^{2}} - 1$

したがって

$(C e^{x^{2}} - 1) y^{2} = 1$

$y^{2} = \frac{1}{C e^{x^{2}} - 1}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{C e^{x^{2}} - 1}}$

最終更新日： 2024年10月7日