問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\sin }^3}xdx}$  

■答

${\displaystyle -\cos \theta +\frac{1}{3}{\cos }^3\theta +C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

三角関数(三角比)の相互関係より

${\displaystyle {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int {\sin }^3}xdx}$ 

始めに(1)の${\displaystyle {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$　･･････(2) を変形し

${\displaystyle {\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta }$　･･････(3)

とする

次に

${\displaystyle {\sin }^3\theta =\sin \theta {\sin }^2\theta }$

として，(3)を上式を代入する．

${\displaystyle {\sin }^3\theta =\sin \theta \left(1-{\cos }^{2}x\right)}$

よって

${\displaystyle {\displaystyle \int {\sin }^3\theta ={\displaystyle \int \sin \left(1-{\cos }^2\theta \right)}}dx}$ 　

ここで， ${\displaystyle \cos \theta =t}$ と置いて，置換積分する（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin \theta }$ 　→　${\displaystyle \sin \theta dx=-dt}$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(1-t^2\right)}\left(-1\right)dt}$  

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \left(1-t^2\right)}dt}$

${\displaystyle =-\left(t-\frac{1}{3}{t}^3\right)+C}$

（ 基本となる関数の積分を参照）

${\displaystyle =-\cos \theta +\frac{1}{3}{\cos }^3\theta +C}$　　（$C$は積分定数）

　

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最終更新日： 2024年7月18日

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