問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx}}$ 　　

■答

${\displaystyle {\sin }^{-1}\frac{x}{3}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分の「その他」よりこの

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx={sin}^{-1}\frac{x}{a}+C}}$　　（$C$は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx}}$　･･････(1) 　

この問題では，公式の「${\displaystyle a^2}$」 は「${\displaystyle 9=3^2}$」 である．したがって

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{3^2-x^2}}dx}}$${\displaystyle ={\sin }^{-1}\frac{x}{3}+C}$　　（$C$は積分定数）

●別解1

${\displaystyle 9-x^2>0}$より，これを因数分解すると

${\displaystyle \left(3-x\right)\left(3+x\right)>0\\ }$

${\displaystyle \left(x-3\right)\left(x+3\right)<0}$

${\displaystyle -3<x<3}$

となる．よって

${\displaystyle x=3\sin \theta \left(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)}$　･･････(2)

とおき，置換積分をする． ${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=3\cos \theta }$より

${\displaystyle dx=3\cos \theta d\theta }$　･･････(3)

となる．

(1)に(2)，(3)をそれぞれ代入し，置換積分すると

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}^{\text{}}\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx}$ ${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}^{\text{}}\frac{3\cos \theta }{\sqrt{3^2\left(1-{\sin }^2\theta \right)}}d\theta }$

$={\displaystyle \int \frac{3\cos \theta }{\sqrt{3^2\left(1-{\sin }^2\theta \right)}}d\theta }$

$={\displaystyle \int \frac{3\cos \theta }{3\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}d\theta }$

${\displaystyle {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$ → ${\displaystyle 1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta }$より

$={\displaystyle \int \frac{3\cos \theta }{3\sqrt{{\cos }^2\theta }}d\theta }$

${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$ → ${\displaystyle \cos \theta >0}$ → ${\displaystyle \sqrt{{\cos }^2\theta }=\cos \theta }$より

$={\displaystyle \int \frac{3\cos \theta }{3\cos \theta }d\theta }$

$={\displaystyle \int d\theta }$

${\displaystyle =\theta +C}$　･･････(4)

ここで，(2)を ${\displaystyle \theta =}$ の形に式を変形すると，（アークサイン参照）

${\displaystyle x=3sin\theta \to \theta ={sin}^{-1}\frac{x}{3}}$　･･････(5)

となる．(5)を(4)に代入すると

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx={sin}^{-1}\frac{x}{3}+C}$　･･････(6)

となる．

●別解2

今回は

${\displaystyle x=3\cos \varphi \left(0<\theta <\pi \right)}$　･･････(7)

とおき，置換積分をする． ${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=-3\cos \varphi \theta }$より

${\displaystyle dx=-3\cos \varphi d\varphi }$　･･････(8)

となる．

(1)に(7)，(8)をそれぞれ代入し，置換積分すると

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}^{\text{}}\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx}$ ${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}^{\text{}}\frac{-3\sin \varphi }{\sqrt{3^2\left(1-{\cos }^2\varphi \right)}}d\varphi }$

$={\displaystyle \int \frac{-3\sin \varphi }{\sqrt{3^2\left(1-{\cos }^2\varphi \right)}}d\varphi }$

$={\displaystyle \int \frac{-3\sin \varphi }{3\sqrt{1-{\cos }^2\varphi }}d\varphi }$

${\displaystyle {\sin }^2\varphi +{\cos }^2\varphi =1}$ → ${\displaystyle 1-{\cos }^2\varphi ={\sin }^2\varphi }$より

$={\displaystyle \int \frac{-3\sin \varphi }{3\sqrt{{\sin }^2\varphi }}d\varphi }$

${\displaystyle 0<\varphi <\pi }$ → ${\displaystyle \sin \varphi >0}$ → ${\displaystyle \sqrt{{\sin }^2\varphi }=\sin \varphi }$より

$={\displaystyle \int \frac{-3\sin \varphi }{3\sin \varphi }d\varphi }$

$={\displaystyle -\int d\varphi }$

${\displaystyle =-\varphi +C}$　･･････(9)

ここで，(7)を ${\displaystyle \varphi =}$ の形に式を変形すると，（アークコサイン参照）

${\displaystyle x=3cos\varphi \to \varphi ={cos}^{-1}\frac{x}{3}}$　･･････(10)

となる．(10)を(9)に代入すると

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx=-{cos}^{-1}\frac{x}{3}+C}$　･･････(11)

となる．

(9)の $\varphi$ を(2)の $\theta$ に変換する．

下の図は， $x$ と $\varphi$ ， $\theta$ の関係を示す図である．

${\displaystyle x:-3\to 3}$ のとき，${\displaystyle \theta :-\frac{\pi }{2}\to \frac{\pi }{2}}$ ， ${\displaystyle \varphi :\pi \to -\pi }$ であることより， 図では角度 $\theta$の正方向は時計回り，角度 $\varphi$ の正方向は反時計回りとなる．よって， $\varphi$ と $\theta$ の関係は

${\displaystyle \theta +\varphi =\frac{\pi }{2}}$ 　→　 ${\displaystyle \varphi =\frac{\pi }{2}-\theta }$ 　･･････(12)

となる．(9)に(12)を代入すると

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx}$ ${\displaystyle =-\left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)+C}$ ${\displaystyle =\theta -\frac{\pi }{2}+C}$　･･････(13)

(13)に(5)を代入すると

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx}$${\displaystyle ={\sin }^{-1}\frac{x}{3}-\frac{\pi }{2}+C}$　･･････(14)

(14)の ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}+C}$ を改めて $C$ と書き換えると(6)になる．

【参考】

アークサインとアークコサインの関係

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle {\sin }^{-1}\frac{x}{3}+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年8月2日

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