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応用分野: 極座標表示におけるラプラシアン (2次元)三角関数の不等式の解き方tan(x/2)=t とおく置換積分三角方程式の解き方2倍角の公式1・サイン・コサイン三角形を用いた三角関数の相互関係の導出微分 tanx
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三角関数(三角比)の相互関係

■関係式

  1. sin 2 θ+ cos 2 θ=1   証明

  2. tanθ= sinθ cosθ   (ただし, cosθ0 )  証明

  3. tan 2 θ+1= 1 cos 2 θ   (ただし, cosθ0 )  証明

 ここも参考にするとよい.

■証明

1.三角関数の定義より(右図参照),

sinθ= y r cosθ= x r より,

  • y=rsinθ  ・・・・・・(1),

  • x=rcosθ  ・・・・・・(2)

となる.△OQPにおいて,三平方の定理より,

OQ 2 + PQ 2 = OP 2 | x | 2 + | y | 2 = r 2 x 2 + y 2 = r 2  ・・・・・・(3)  

(3)に(1),(2)を代入すると, 

rcosθ 2 + rsinθ 2 = r 2

sin 2 θ+ cos 2 θ=1

が得られる.

2.三角関数の定義より,

sinθ= y r cosθ= x r tanθ= y x  

よって,

tanθ= y x = y r x r = sinθ cosθ  

3. sin 2 θ+ cos 2 θ=1  の両辺を cos 2 θ  で割ると,

sin 2 θ cos 2 θ + cos 2 θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ  

となる. sinθ cosθ =tanθ  を上式に代入すると,

tan 2 θ+1= 1 cos 2 θ  

の関係式が得られる.

 

 

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最終更新日: 2019年7月23日

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