重積分の定義

2変数関数 $z = f (x, y)$ $z = f (x, y)$ は境界を含む領域 $D$ $D$ （水色の部分）で定義されている．

領域 $D$ $D$ は，長方形領域 $R = {(x, y) | a ≦ x ≦ b, c ≦ y ≦ d}$ $R = {(x, y) | a ≦ x ≦ b, c ≦ y ≦ d}$ に含まれるものとする．

$x$ $x$ 成分の区間 $[a, b]$ $[a, b]$ を

$a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{m - 1} < x_{m} = b$ $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{m - 1} < x_{m} = b$

となる $x_{i} (i = 0, 1, 2, \dots, m)$ $x_{i} (i = 0, 1, 2, \dots, m)$ で $m$ $m$ 個の小区間に分割し， $y$ $y$ 成分の区間 $[c, d]$ $[c, d]$ を

$c = y_{0} < y_{1} < \dots < y_{n - 1} < y_{n} = d$ $c = y_{0} < y_{1} < \dots < y_{n - 1} < y_{n} = d$

となる $y_{j} (j = 0, 1, 2, \dots, n)$ $y_{j} (j = 0, 1, 2, \dots, n)$ で $n$ $n$ 個の小区間に分割する．

領域 $R_{i j}$ $R_{i j}$ を

$R_{i j} = {(x, y) | x_{i - 1} ≦ x ≦ x_{i}, y_{j - 1} ≦ y ≦ y_{j}}$ $R_{i j} = {(x, y) | x_{i - 1} ≦ x ≦ x_{i}, y_{j - 1} ≦ y ≦ y_{j}}$

と定義し， $R_{i j}$ $R_{i j}$ の面積を $Δ S_{i j}$ $Δ S_{i j}$ とする．また $(ξ_{i}, η_{i}) \in R_{i j}$ $(ξ_{i}, η_{i}) \in R_{i j}$ とする．

領域 $D$ $D$ に含まれる $R_{i j}$ $R_{i j}$ に関して

$f (ξ_{i}, η_{i}) Δ S_{i j}$ $f (ξ_{i}, η_{i}) Δ S_{i j}$

を足し合わせた値

$V_{m n} = \sum_{i} \sum_{j} f (ξ_{i}, η_{i}) Δ S_{i j}$ $V_{m n} = \sum_{i} \sum_{j} f (ξ_{i}, η_{i}) Δ S_{i j}$

を考える．

分割数 $m, n$ $m, n$ を大きくしていくと，分割の仕方および $ξ_{i}, η_{i}$ $ξ_{i}, η_{i}$ のとり方に関係なくある値 $V$ $V$ に収束するなら，式で表すと

$V_{m n} = \lim_{\begin{array}{l} m \to \infty \\ n \to \infty \end{array}} \sum_{i} \sum_{j} f (ξ_{i}, η_{i}) Δ S_{i j}$ $V_{m n} = \lim_{\begin{array}{l} m \to \infty \\ n \to \infty \end{array}} \sum_{i} \sum_{j} f (ξ_{i}, η_{i}) Δ S_{i j}$

となるなら， $f (x, y)$ $f (x, y)$ は領域 $D$ $D$ において積分可能であるといい

$V = \iint_{D} f (x, y) d x d y$ $V = \iint_{D} f (x, y) d x d y$

と表す．

この極値 $V$ $V$ を $f (x, y)$ $f (x, y)$ の $D$ $D$ における2重積分という．

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最終更新日： 2023年8月1日

重積分の定義

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