次数下げの計算例2
ここでは，行列式の次数下げの計算を具体的に使用した例を示す．
■問題
次の行列式を求めよ．ただし，答は因数分解された形で示せ．
|
a
b
c
c
a
b
b
c
a
|
■解法
・行列式の特徴を用いて解く方法
|
a
b
c
c
a
b
b
c
a
|
各行の成分の総和が等しいことを利用して計算を容易にする．まず，行列式の計算則を利用し，1列+2列を行った後，さらに，1列+3列を行う（この操作を1列＋2列＋3列と書くことにする）
=|
a+b+c
b
c
a+b+c
a
b
a+b+c
c
a
|
1列目の成分がすべて
a+b+c
であるので定数倍の性質を利用して，1列目から
a+b+c
をくくりだす．
=
a+b+c
1
b
c
1
a−b
b−c
1
c−b
a−c
1列目の1行目の成分以外を0にするため，行列式の計算則を利用し，2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)の計算を行う．
=
a+b+c
1
b
c
1+1×
−1
a+b×
−1
b+c×
−1
1+1×
−1
c+b×
−1
a+c×
−1
=
a+b+c
1
b
c
0
a−b
b−c
0
c−b
a−c
次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．
=(
a+b+c
)|
a−b
b−c
c−b
a−c
|
行列式の値を求める．
=(
a+b+c
){
(
a−b
)(
a−c
)−(
b−c
)(
c−b
)
}
=(
a+b+c
)(
a
2
−ac−ab+bc−bc+
b
2
+
c
2
−bc
)
=(
a+b+c
)(
a
2
+
b
2
+
c
2
−ab−bc−ca
)
・1列目の1行目の成分以外を0にしてから解く方法
|
a
b
c
c
a
b
b
c
a
|
1列目の1行目の成分以外を0にするため，行列式の計算則を利用し，2行+1行
×
−
c
a
，3行+1行
×
−
b
a
の計算を行う．
=
a
b
c
c+a×
−
c
a
a+b×
−
c
a
b+c×
−
c
a
b+a×
−
b
a
c+b×
−
b
a
a+c×
−
b
a
=|
a
b
c
0
a−
bc
a
b−
c
2
a
0
c−
b
2
a
a−
bc
a
|
次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．
=a|
a−
bc
a
b−
c
2
a
c−
b
2
a
a−
bc
a
|
行列式の値を求める．
=a{
(
a−
bc
a
)
2
−(
b−
c
2
a
)(
c−
b
2
a
)
}
=a{
(
a
2
−2bc+
b
2
c
2
a
2
)−(
bc−
b
3
a
−
c
3
a
+
b
2
c
2
a
2
)
}
=a(
a
2
−2bc+
b
2
c
2
a
2
−bc+
b
3
a
+
c
3
a
−
b
2
c
2
a
2
)
=a(
a
2
+
b
3
a
+
c
3
a
−3bc
)
=
a
3
+
b
3
+
c
3
−3abc
因数分解の公式を用いて因数分解を行う．
=(
a+b+c
)(
a
2
+
b
2
+
c
2
−ab−bc−ca
)
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最終更新日：
2022年8月27日
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