次数下げの計算例2

次数下げの計算例2

ここでは，行列式の次数下げの計算を具体的に使用した例を示す．

■問題

次の行列式を求めよ．ただし，答は因数分解された形で示せ．

| a b c c a b b c a |

■解法

・行列式の特徴を用いて解く方法

| a b c c a b b c a |

各行の成分の総和が等しいことを利用して計算を容易にする．まず，行列式の計算則を利用し，1列+2列を行った後，さらに，1列+3列を行う（この操作を1列＋2列＋3列と書くことにする）

=| a+b+c b c a+b+c a b a+b+c c a |

1列目の成分がすべて a+b+c であるので定数倍の性質を利用して，1列目から a+b+c をくくりだす．

= a+b+c 1 b c 1 a−b b−c 1 c−b a−c

1列目の1行目の成分以外を0にするため，行列式の計算則を利用し，2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)の計算を行う．

= a+b+c 1 b c 1+1× −1 a+b× −1 b+c× −1 1+1× −1 c+b× −1 a+c× −1

= a+b+c 1 b c 0 a−b b−c 0 c−b a−c

次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．

=( a+b+c )| a−b b−c c−b a−c |

行列式の値を求める．

=( a+b+c ){ ( a−b )( a−c )−( b−c )( c−b ) }

=( a+b+c )( a 2 −ac−ab+bc−bc+ b 2 + c 2 −bc )

=( a+b+c )( a 2 + b 2 + c 2 −ab−bc−ca )

・1列目の1行目の成分以外を0にしてから解く方法

| a b c c a b b c a |

1列目の1行目の成分以外を0にするため，行列式の計算則を利用し，2行+1行 × − c a ，3行+1行 × − b a の計算を行う．

= a b c c+a× − c a a+b× − c a b+c× − c a b+a× − b a c+b× − b a a+c× − b a

=| a b c 0 a− bc a b− c 2 a 0 c− b 2 a a− bc a |

次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．

=a| a− bc a b− c 2 a c− b 2 a a− bc a |

行列式の値を求める．

=a{ ( a− bc a ) 2 −( b− c 2 a )( c− b 2 a ) }

=a{ ( a 2 −2bc+ b 2 c 2 a 2 )−( bc− b 3 a − c 3 a + b 2 c 2 a 2 ) }

=a( a 2 −2bc+ b 2 c 2 a 2 −bc+ b 3 a + c 3 a − b 2 c 2 a 2 )

=a( a 2 + b 3 a + c 3 a −3bc )

= a 3 + b 3 + c 3 −3abc

因数分解の公式を用いて因数分解を行う．

=( a+b+c )( a 2 + b 2 + c 2 −ab−bc−ca )

 

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最終更新日： 2022年8月27日