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応用分野: 三角関数の不等式の解き方三角方程式の解き方式の導出式の導出三角関数の1次化のための公式半角の公式3倍角の公式加法定理
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2倍角の公式

sin 2 α = 2 sin α cos α   公式の導出 

cos 2 α = cos 2 α sin 2 α   公式の導出 

= 2 cos 2 α 1 = 1 2 sin 2 α  

tan 2 α = 2 tan α 1 tan 2 α   公式の導出 

 

■公式の導出

これらの式は加法定理において, β=α とすることにより求めることができる.

●sinの2倍角の公式の導出

sin2α =sin( α+α )  

=2sin αcosα  

●cosの2倍角の公式の導出

cos2 α =cos( α+α )  

  • =cosαcosαsinαsinα
  •    (加法定理を参照)

= cos 2 α sin 2 α   ・・・・・・(1) 

(1)に三角関数の相互関係  sin 2 α+ cos 2 α=1  から得られる  sin 2 α=1 cos 2 α  を代入すると,

= cos 2 α( 1 cos 2 α ) =2 cos 2 α1  

すなわち,

cos 2α=2 cos 2 α1  

のcosの2倍角の公式が得られる.

同様にして,(1)に三角関数の相互関係  sin 2 α+ cos 2 α=1  から得られる  cos 2 α=1 sin 2 α  を代入すると,

=( 1 sin 2 α ) sin 2 α =12 sin 2 α  

すなわち,

cos2α=12 sin 2 α  

の別のcosの2倍角の公式が得られる.

●tanの2倍角の公式の導出

tan 2α =tan( α+α )  

= tan α+tanα 1tanαtanα   (加法定理を参照)

= 2 tanα 1 tan 2 α  

 

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最終更新日: 2023年3月2日

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