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被積分関数が f(sinx,cosx) と表されるとき,tanx2=t とおく置換積分を行う.
sinx=2t1+t2 ,cosx=1−t21+t2,dx=21+t2dt
より
∫f(sinx, cosx)dx=∫f(2t1+t2,1−t21+t2)⋅21+t2dt
となる.
2倍角の公式と,tanx2=t より
tanx=2tanx21−tan2x2=2t1−t2
tan2x2+1=1cos2x2
よって
cos2x2=1tan2x2+1=11+t2
半角の公式より
cos2x2=1+cosx2
したがって
cosx=2cos2x2−1
=21+t2−1
=1−t21+t2
三角関数の相互関係の公式tanx=sinxcosx より
sinx =tanxcosx
=2t1−t2⋅1−t21+t2
=2t1+t2
t=tanx2=sinx2cosx2 なので
dtdx=(sinx2)′cosx2−sinx2(cosx2)′(cosx2)2
=12cosx2cosx2−sinx2(−12sinx2)(cosx2)2
=12⋅1cos2x2
=12⋅111+t2
=1+t22
したがって
dx=21+t2dt
以下にtanx2=tで置換して解く例題をいくつか示す.
以下にtanx=tで置換して解く例題をいくつか示す.
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最終更新日: 2024年11月13日