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応用分野: 積分の計算手順知っていると便利な積分の公式置換方法の例

tan(x/2)=t とおく置換積分

■関連動画

■解説

被積分関数f(sinx,cosx)  と表されるとき,tanx2=t とおく置換積分を行う.

sinx=2t1+t2cosx=1t21+t2dx=21+t2dt 

より

f(sinx, cosx)dx=f(2t1+t2,1t21+t2)21+t2dt

となる.

cosx=1t21+t2  を導く

2倍角の公式と,tanx2=t  より

tanx=2tanx21tan2x2=2t1t2

三角関数の相互関係の公式より

tan2x2+1=1cos2x2  

よって

cos2x2=1tan2x2+1=11+t2  

半角の公式より

cos2x2=1+cosx2  

したがって

cosx=2cos2x21

=21+t21

=1t21+t2

sinx=2t1+t2  を導く

三角関数の相互関係の公式tanx=sinxcosx  より

sinx =tanxcosx

=2t1t21t21+t2

=2t1+t2

dx=21+t2dt を導く

t=tanx2=sinx2cosx2  なので

dtdx=(sinx2)cosx2sinx2(cosx2)(cosx2)2

=12cosx2cosx2sinx2(12sinx2)(cosx2)2

=121cos2x2

=12111+t2

=1+t22

したがって

dx=21+t2dt  

◆事例

以下にtanx2=tで置換して解く例題をいくつか示す.

  • 1cosxdx  ⇒解説と解答
  • 1sinxdx  ⇒解説と解答
  • sec2xdx  ⇒解説と解答
  • csc2xdx  ⇒解説と解答
  • 1sinx+cosx+1dx  ⇒解説と解答

以下にtanx=tで置換して解く例題をいくつか示す.

  • 1tan22xdx  ⇒解説と解答

 

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最終更新日: 2024年11月13日

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