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知っていると便利な積分の公式

• ${\displaystyle \int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=log\left|f\left(x\right)\right|+C}$ 　⇒導出

• ${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$ 　⇒導出

• 被積分関数が ${\displaystyle f\left(sinx\right)cosx}$  と表されるとき， ${\displaystyle sinx=t}$  とおく置換積分を行う．

  ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=cosx\to cosxdx=dt}$より，${\displaystyle \int f\left(sinx\right)cosxdx=\int f\left(t\right)dt}$　⇒解説と例題

• 被積分関数が${\displaystyle f\left(cosx\right)sinx}$  と表されるとき，${\displaystyle cosx=t}$  とおく置換積分を行う．

  ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-sinx\to sinxdx=-dt}$より，${\displaystyle \int f\left(cosx\right)sinxdx=-\int f\left(t\right)dt}$　⇒解説と例題

• 被積分関数が${\displaystyle f\left(tanx\right)\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}}$   と表されるとき，${\displaystyle tanx=t}$  とおく置換積分を行う．

  ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{{cos}^{2}x}\to \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=dt}$より，${\displaystyle \int f\left(tanx\right)\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=\int f\left(t\right)dt}$　    ⇒解説と例題

• 被積分関数が${\displaystyle f\left(sinx,cosx\right)}$  と表されるとき，${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ とおく置換積分を行う．

  ${\displaystyle {\displaystyle sinx=\frac{2t}{1+t^2}}}$ ，${\displaystyle cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$，${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$　より

  ${\displaystyle \int f(\sin x,\cos x)dx}$${\displaystyle =\int f\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)・\frac{2}{1+t^2}dt}$ 　    ⇒ここを参照

 

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最終更新日： 2023年10月12日

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