2倍角の公式

$sin 2 α = 2 sin α cos α$ ⇒公式の導出
$cos 2 α = {cos}^{2} α - {sin}^{2} α$ ⇒公式の導出
$\begin{array}{l} = 2 {cos}^{2} α - 1 \\ = 1 - 2 {sin}^{2} α \end{array}$
$tan 2 α = \frac{2 tan α}{1 - {tan}^{2} α}$ ⇒公式の導出

■解説動画

これらの式は加法定理において， $β = α$ とすることにより求めることができる．

$sin 2 α = sin (α + α)$

$= sin α cos α + cos α sin α$

（加法定理を参照）

$= 2 sin α cos α$

$cos 2 α = cos (α + α)$

$= cos α cos α - sin α sin α$

（加法定理を参照）

$= {cos}^{2} α - {sin}^{2} α$ ･･････(1)

(1)に三角関数の相互関係 ${sin}^{2} α + {cos}^{2} α = 1$ から得られる ${sin}^{2} α = 1 - {cos}^{2} α$ を代入すると，

$\begin{array}{l} = {cos}^{2} α - (1 - {cos}^{2} α) \\ = 2 {cos}^{2} α - 1 \end{array}$

すなわち

$cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1$

の $\cos$ の2倍角の公式が得られる．

同様にして，(1)に三角関数の相互関係 ${sin}^{2} α + {cos}^{2} α = 1$ から得られる ${cos}^{2} α = 1 - {sin}^{2} α$ を代入すると

$\begin{array}{l} = (1 - {sin}^{2} α) - {sin}^{2} α \\ = 1 - 2 {sin}^{2} α \end{array}$

すなわち

$cos 2 α = 1 - 2 {sin}^{2} α$

の別の $\cos$ の2倍角の公式が得られる．

$tan 2 α = tan (α + α)$

$= \frac{tan α + tan α}{1 - tan α tan α}$ （加法定理を参照）

$= \frac{2 tan α}{1 - {tan}^{2} α}$

最終更新日： 2026年2月10日