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積分の計算手順

積分の公式ここに集めています.

積分の例題ここに集めています.

1.積分ができる形に式を整える

(1)基本となる関数の積分の和の形に持っていく

  • 基本となる関数f(x)xα  (α:-1以外の実数)  ,1x  ,ex  ,αx  ,logx  ,sinx ,cosx  , tanx   ⇒積分の公式で計算できる.
  • f(ax+b)   (a0) の場合(f は基本となる関数):ax+b=t とおいて置換積分で解く.実際に計算した例

(2)その他

  • 分数関数

    • 部分分数に分解(部分分数に分解するための手順を参照)
      (例)x(x+1)(x2) 13·1x+1+23·1x2

    • 分子の次数下げ
      (例)2x2+5x+4x+22x+1+2x+2

    • f(x)f(x)dx=log|f(x)|+C  の関係を利用する.ここを参照.

  • 1次無理関数
    指数の形にする.(例) max+b     (ax+b)1m    さらに,ax+b=t とおいて置換積分で解く.

  • 高次の三角関数

    • 三角関数の1次化を図る.用いる公式

    • f(sinx)cosx に式を変形し,sinx=t  とおく置換積分を行う.
        dtdx=cosxcosxdx=dt より, f(sinx)cosxdx=f(t)dt 解説と例題

    • f(cosx)sinx に式を変形し,cosx=t  とおく置換積分を行う.
        dtdx=sinxsinxdx=dt より,f(cosx)sinxdx=f(t)dt 解説と例題

    • f(tanx)1cos2x  に式を変形し,tanx=t  とおく置換積分を行う.
        dtdx=1cos2x1cos2xdx=dtより,  f(tanx)1cos2xdx=f(t)dt 解説と例題

    • f(sinx,cosx)dxに式を変形し,tanx2=tとおく置換積分を行う. ここを参照

  • 関数の積

    • 部分積分の利用(関数のどちらか一方が微分することにより簡単になる場合に有効)
      (例) xexdx  x を微分すると1になる.

    • f(g(x))g(x)dx=f(g(x))+C の関係を利用する.

    • {f(x)}αf(x)dx={f(x)}α+1α+1 +C この関係はf(x)=t とおいた置換積分で導ける.

  • 関数が複雑

    置換積分を利用する.以下に置換の例を示す.

    • ex=tlogx=tsinx=tcosx=t

    • a2x2 x=asinθ    (π2 ,または x=acosθ     ( 0θπ )

    • a 2 + x 2 x=atanθ π 2 <θ< π 2

    • x 2 a 2 x= a cosθ 0θ< π 2 , π 2 <θπ

    • 1 a 2 + x 2 x+ a 2 + x 2 =t x=atanθ π 2 <θ< π 2

    • 1 x 2 a 2 x+ x 2 a 2 =t x= a cosθ 0θ< π 2 , π 2 <θπ

    • 1 a 2 + x 2 x=atanx π 2 <θ< π 2

2.定積分の場合,式の特徴による簡素化を図る.

  • 偶関数

    a a f ( x )dx=2 0 a f ( x ) dx    f ( x ) :偶関数 )

  • 奇関数

    a a f ( x )dx=0    f ( x ) :奇関数 )

  • 三角関数の場合は 周期性に着目

    (例) 0 π sin( πx )dx= 0 π sinxdx

■積分計算の具体的事例

ここを見てください.対数,三角関数,分数関数などの積分の例題を掲載している.

 

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最終更新日: 2023年7月30日

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