積分の計算手順

■積分の公式はここに集めています．

■積分の例題はここに集めています．

１．積分ができる形に式を整える

(1)基本となる関数の積分の和の形に持っていく

• 基本となる関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ ： $x^{\alpha }$   ( $\alpha$ ：−1以外の実数)  ， $\frac{1}{x}$  ， $e^x$  ， ${\alpha }^x$  ， $logx$  ， $sinx$  ， $cosx$  ， $tanx$   ⇒積分の公式で計算できる．
• ${\displaystyle f\left(ax+b\right)}$   $\left(a\ne 0\right)$ の場合( ${\displaystyle f}$ は基本となる関数)： $ax+b=t$  とおいて置換積分で解く．実際に計算した例．

(2)その他

• 分数関数

  • 部分分数に分解（部分分数に分解するための手順を参照）
    (例） ${\displaystyle \frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \frac{1}{3}·\frac{1}{x+1}+\frac{2}{3}·\frac{1}{x-2}}$

  • 分子の次数下げ
    (例) ${\displaystyle \frac{2x^2+5x+4}{x+2}\to 2x+1+\frac{2}{x+2}}$

  • ${\displaystyle \int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=log\left|f\left(x\right)\right|+C}$  の関係を利用する．ここを参照．

• 1次無理関数
  指数の形にする．（例）  $\sqrt[m]{ax+b}$    ${\displaystyle \to }$    ${\left(ax+b\right)}^{\frac{1}{m}}$     さらに， $ax+b=t$  とおいて置換積分で解く．

• 高次の三角関数

  • 三角関数の1次化を図る．⇒用いる公式

  • ${\displaystyle f\left(sinx\right)cosx}$  に式を変形し， ${\displaystyle sinx=t}$  とおく置換積分を行う．
       ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=cosx\to cosxdx=dt}$ より， ${\displaystyle \int f\left(sinx\right)cosxdx=\int f\left(t\right)dt}$ ⇒解説と例題

  • ${\displaystyle f\left(cosx\right)sinx}$  に式を変形し， ${\displaystyle cosx=t}$  とおく置換積分を行う．
       ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-sinx\to sinxdx=-dt}$ より， ${\displaystyle \int f\left(cosx\right)sinxdx=-\int f\left(t\right)dt}$ ⇒解説と例題

  • ${\displaystyle f\left(tanx\right)\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}}$  に式を変形し， ${\displaystyle tanx=t}$  とおく置換積分を行う．
       ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{{cos}^{2}x}\to \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=dt}$ より，   ${\displaystyle \int f\left(tanx\right)\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=\int f\left(t\right)dt}$ ⇒解説と例題

  • ${\displaystyle \int f\left(sinx,cosx\right)dx}$ に式を変形し， ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ とおく置換積分を行う．　⇒ここを参照
    

• 関数の積

  • 部分積分の利用（関数のどちらか一方が微分することにより簡単になる場合に有効）
    (例)  ${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$    ${\displaystyle x}$ を微分すると1になる．

  • ${\displaystyle \int f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(g\left(x\right)\right)+C}$ の関係を利用する．　⇒ここを参照

  • ${\displaystyle \int {\left\{f\left(x\right)\right\}}^{\alpha }{f}^{\prime }\left(x\right)dx=\frac{{\left\{f\left(x\right)\right\}}^{\alpha +1}}{\alpha +1}}$ ${\displaystyle +C}$ この関係は ${\displaystyle f\left(x\right)=t}$ とおいた置換積分で導ける．　⇒ここを参照

• 関数が複雑

  置換積分を利用する．以下に置換の例を示す．

  • $e^x=t$ ， $logx=t$ ， $sinx=t$ ， ${\displaystyle cosx=t}$

  • ${\displaystyle \int \sqrt{a^2+x^2}dx}$ $\Rightarrow$ ${\displaystyle x=a\tan \theta }$ ${\displaystyle \left(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)}$   ⇒ここを参照
  • ${\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx}$ $\Rightarrow$ $x=asin\theta$     ${\displaystyle \left(-\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}\right)}$ ，または $x=acos\theta$     $\left(0\leqq \theta \leqq \pi \right)$   ⇒ ここを参照
  • ${\displaystyle \int \sqrt{x^2-a^2}dx}$ $\Rightarrow$ ${\displaystyle x=\frac{a}{\cos \theta }}$ ${\displaystyle \left(0<\theta <\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}<\theta <\pi \right)}$   ⇒ ここを参照
  • ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}$ ${\displaystyle \Rightarrow \{\begin{array}{l}x+\sqrt{x^2+a^2}=t\\ x=atan\theta \left(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)\end{array}}$ ⇒ここを参照
  • ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}$ ${\displaystyle \Rightarrow \{\begin{array}{l}x+\sqrt{x^2-a^2}=t\\ x=\frac{a}{cos\theta }\left(0<\theta <\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}<\theta <\pi \right)\end{array}}$ ⇒ここを参照
  • ${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}dx}}$ ${\displaystyle \Rightarrow x=a\tan \theta \left(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)}$ ⇒ここを参照

２．定積分の場合，式の特徴による簡素化を図る．

• 偶関数

  ${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx}$   （ $f\left(x\right)$ ：偶関数 ）　⇒ここを参照

• 奇関数

  ${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=0}$   （ $f\left(x\right)$ ：奇関数 ）　⇒ここを参照

• 三角関数の場合は 周期性に着目

  （例） ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }sin\left(\pi -x\right)dx={\int }_0^{\pi }sinxdx}$

■積分計算の具体的事例

ここを見てください．対数，三角関数，分数関数などの積分の例題を掲載している．

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最終更新日： 2025年9月11日

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