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積分の計算手順

■積分の公式はここに集めています．

■積分の例題はここに集めています．

１．積分ができる形に式を整える

(1)基本となる関数の積分の和の形に持っていく

• 基本となる関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ ：$x^{\alpha }$  ($\alpha$：－1以外の実数)  ，$\frac{1}{x}$  ，$e^x$  ，${\alpha }^x$  ，$logx$  ，$sinx$ ，$cosx$  ， $tanx$   ⇒積分の公式で計算できる．
• ${\displaystyle f\left(ax+b\right)}$   $\left(a\ne 0\right)$ の場合(${\displaystyle f}$ は基本となる関数)：$ax+b=t$ とおいて置換積分で解く．実際に計算した例．

(2)その他

• 分数関数

  • 部分分数に分解（部分分数に分解するための手順を参照）
    (例）${\displaystyle \frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \frac{1}{3}·\frac{1}{x+1}+\frac{2}{3}·\frac{1}{x-2}}$

  • 分子の次数下げ
    (例)${\displaystyle \frac{2x^2+5x+4}{x+2}\to 2x+1+\frac{2}{x+2}}$

  • ${\displaystyle \int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=log\left|f\left(x\right)\right|+C}$  の関係を利用する．ここを参照．

• 1次無理関数
  指数の形にする．（例） $\sqrt[m]{ax+b}$  ${\displaystyle \to }$   ${\left(ax+b\right)}^{\frac{1}{m}}$    さらに，$ax+b=t$ とおいて置換積分で解く．

• 高次の三角関数

  • 三角関数の1次化を図る．⇒用いる公式

  • ${\displaystyle f\left(sinx\right)cosx}$ に式を変形し，${\displaystyle sinx=t}$  とおく置換積分を行う．
      ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=cosx\to cosxdx=dt}$ より， ${\displaystyle \int f\left(sinx\right)cosxdx=\int f\left(t\right)dt}$　⇒解説と例題

  • ${\displaystyle f\left(cosx\right)sinx}$ に式を変形し，${\displaystyle cosx=t}$  とおく置換積分を行う．
      ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-sinx\to sinxdx=-dt}$ より，${\displaystyle \int f\left(cosx\right)sinxdx=-\int f\left(t\right)dt}$　⇒解説と例題

  • ${\displaystyle f\left(tanx\right)\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}}$  に式を変形し，${\displaystyle tanx=t}$  とおく置換積分を行う．
      ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{{cos}^{2}x}\to \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=dt}$より，  ${\displaystyle \int f\left(tanx\right)\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=\int f\left(t\right)dt}$　⇒解説と例題

  • ${\displaystyle \int f\left(sinx,cosx\right)dx}$に式を変形し，${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$とおく置換積分を行う．　⇒ここを参照
    

• 関数の積

  • 部分積分の利用（関数のどちらか一方が微分することにより簡単になる場合に有効）
    (例) ${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$  ${\displaystyle x}$ を微分すると1になる．

  • ${\displaystyle \int f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(g\left(x\right)\right)+C}$　の関係を利用する．

  • ${\displaystyle \int {\left\{f\left(x\right)\right\}}^{\alpha }{f}^{\prime }\left(x\right)dx=\frac{{\left\{f\left(x\right)\right\}}^{\alpha +1}}{\alpha +1}}$ ${\displaystyle +C}$　この関係は${\displaystyle f\left(x\right)=t}$ とおいた置換積分で導ける．

• 関数が複雑

  置換積分を利用する．以下に置換の例を示す．

  • $e^x=t$ ，$logx=t$ ，$sinx=t$ ，${\displaystyle cosx=t}$

  • $\sqrt{a^2-x^2}$ $\Rightarrow$ $x=asin\theta$    ${\displaystyle \left(-\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}\right)}$ ，または$x=acos\theta$    $\left(0\leqq \theta \leqq \pi \right)$

  • ${\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow }$ ${\displaystyle x=a\tan \theta \left(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)}$

  • ${\displaystyle \sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow }$${\displaystyle x=\frac{a}{\cos \theta }\left(0\leqq \theta <\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}<\theta \leqq \pi \right)}$

  • ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{a^2+x^2}=t\\ x=a\tan \theta \left(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)\end{array}\right.}$

  • ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{x^2-a^2}=t\\ x=\frac{a}{\cos \theta }\left(0\leqq \theta <\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}<\theta \leqq \pi \right)\end{array}\right.}$

  • ${\displaystyle \frac{1}{a^2+x^2}\Rightarrow }$${\displaystyle x=a\tan x\left(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)}$

２．定積分の場合，式の特徴による簡素化を図る．

• 偶関数

  ${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx}$  （ $f\left(x\right)$：偶関数 ）
  
  

• 奇関数

  ${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=0}$  （ $f\left(x\right)$：奇関数 ）
  
  

• 三角関数の場合は 周期性に着目

  （例）${\displaystyle {\int }_0^{\pi }sin\left(\pi -x\right)dx={\int }_0^{\pi }sinxdx}$

■積分計算の具体的事例

ここを見てください．対数，三角関数，分数関数などの積分の例題を掲載している．

 

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最終更新日： 2023年7月30日

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