マクローリン展開

　無限回微分可能な関数${\displaystyle f\left(x\right)}$について，

${\displaystyle \begin{array}{ll}f\left(x\right)\hfill & =f\left(0\right)+f^{\prime }\left(0\right)x+\frac{f^{″}\left(0\right)}{2!}{x}^2+\cdots \cdots +\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}{x}^n+\cdots \cdots \hfill \\ \hfill & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}{x}^n\hfill \end{array}}$

を${\displaystyle f\left(x\right)}$のマクローリン展開という ．これはテイラー展開において，${\displaystyle a=0}$ としたものである．

■主な関数のマクローリン展開

1. ${\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots \cdots +x^n+\cdots }$ ⇒導出 （収束範囲：${\displaystyle -1<x<1}$ ）

2. ${\displaystyle e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots \cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\cdots }$ ⇒導出 （収束範囲：${\displaystyle -\infty <x<\infty }$ ）

3. ${\displaystyle sinx=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5-\frac{1}{7!}{x}^7+\cdots \cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{1}{\left(2n+1\right)!}{x}^{2n+1}+\cdots }$ ⇒導出（収束範囲：${\displaystyle -\infty <x<\infty }$ ）

4. ${\displaystyle \cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6+\cdots \cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{1}{\left(2n\right)!}{x}^{2n}+\cdots }$ ⇒導出（収束範囲： ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$ ）

5. ${\displaystyle log\left(1+x\right)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+\cdots \cdots +\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}\left(n-1\right)!}{n!}{x}^n+\cdots }$ ⇒導出 （収束範囲：${\displaystyle -1<x\le 1}$ ）

6. ${\displaystyle \alpha }$ を実数としたとき，

   ${\displaystyle {\left(1+x\right)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha \left(\alpha -1\right)}{2!}{x}^2+\frac{\alpha \left(\alpha -1\right)\left(\alpha -2\right)}{3!}{x}^3+\cdots \cdots }$ ⇒導出（収束半径：${\displaystyle -1<x<1}$）

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初版：2004年12月7日，最終更新日： 2011年4月21日