無限回微分可能な関数 f( x ) について,
f x =f 0 + f ′ 0 x+ f ″ 0 2! x 2 +⋯⋯+ f n 0 n! x n +⋯⋯
= ∑ n=0 ∞ f n 0 n! x n
参考:マクローリン定理
を f( x ) のマクローリン展開という .これはテイラー展開において, a=0 としたものである.
■主な関数のマクローリン展開
1 1−x =1+x+ x 2 + x 3 + x 4 +⋯⋯+ x n +⋯ ⇒導出 (収束範囲: −1<x<1 )
e x =1+x+ 1 2! x 2 + 1 3! x 3 + 1 4! x 4 +⋯⋯+ 1 n! x n +⋯ ⇒導出 (収束範囲: −∞<x<∞ )
sinx=x− 1 3! x 3 + 1 5! x 5 − 1 7! x 7 +⋯⋯+ ( −1 ) n 1 ( 2n+1 )! x 2n+1 +⋯ ⇒導出(収束範囲: −∞<x<∞ )
cosx=1− 1 2! x 2 + 1 4! x 4 − 1 6! x 6 +⋯⋯+ ( −1 ) n 1 ( 2n )! x 2n +⋯ ⇒導出(収束範囲: −∞<x<∞ )
log( 1+x )=x− 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − 1 4 x 4 +⋯⋯ + ( −1 ) n−1 ( n−1 )! n! x n +⋯ ⇒導出 (収束範囲: −1<x≦1 )
α を実数としたとき,
( 1+x ) α =1+αx+ α( α−1 ) 2! x 2 + α( α−1 )( α−2 ) 3! x 3 +⋯⋯ ⇒導出(収束半径: −1<x<1 )
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最終更新日: 2022年5月29日
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