無限回微分可能な関数 f ( x ) について，
f x = f 0 + f ′ 0 x + f ″ 0 2 ! x 2 + ⋯ ⋯ + f n 0 n ! x n + ⋯ ⋯
= ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n
参考：マクローリン定理
を f ( x ) のマクローリン展開という ．これはテイラー展開において， a = 0 としたものである．
■主な関数のマクローリン展開
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ ⋯ + x n + ⋯ ⇒導出 （収束範囲： − 1 < x < 1 ）
e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 + ⋯ ⋯ + 1 n ! x n + ⋯ ⇒導出 （収束範囲： − ∞ < x < ∞ ）
sin x = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 + ⋯ ⋯ + ( − 1 ) n 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 + ⋯ ⇒導出（収束範囲： − ∞ < x < ∞ ）
cos x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 + ⋯ ⋯ + ( − 1 ) n 1 ( 2 n ) ! x 2 n + ⋯ ⇒導出（収束範囲： − ∞ < x < ∞ ）
log ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − 1 4 x 4 + ⋯ ⋯ + ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! n ! x n + ⋯ ⇒導出 （収束範囲： − 1 < x ≦ 1 ）
α を実数としたとき，
( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + α ( α − 1 ) ( α − 2 ) 3 ! x 3 + ⋯ ⋯ ⇒導出（収束半径： − 1 < x < 1 ）
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最終更新日： 2025年7月1日
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