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応用分野: テイラー展開べき級数オイラーの公式式の導出マクローリン展開 1/(1-x)マクローリン展開 e^xマクローリン展開 sinxマクローリン展開 cosxマクローリン展開 log(1+x)マクローリン展開 (1+x)^α
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マクローリン展開

無限回微分可能な関数 f ( x ) について,

f x = f 0 + f 0 x + f 0 2 ! x 2 + + f n 0 n ! x n +

= n = 0 f n 0 n ! x n

参考:マクローリン定理

f ( x ) のマクローリン展開という .これはテイラー展開において, a = 0 としたものである.

■主な関数のマクローリン展開

  1. 1 1 x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + + x n + 導出 (収束範囲: 1 < x < 1

  2. e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 + + 1 n ! x n + 導出  (収束範囲: < x <

  3. sin x = x 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 1 7 ! x 7 + + ( 1 ) n 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 + 導出(収束範囲: < x <

  4. cos x = 1 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 1 6 ! x 6 + + ( 1 ) n 1 ( 2 n ) ! x 2 n + 導出(収束範囲: < x <

  5. log ( 1 + x ) = x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 + + ( 1 ) n 1 ( n 1 ) ! n ! x n + 導出 (収束範囲: 1 < x 1

  6. α を実数としたとき,

    ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α 1 ) 2 ! x 2 + α ( α 1 ) ( α 2 ) 3 ! x 3 + 導出(収束半径: 1 < x < 1

 

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最終更新日: 2025年7月1日

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