内積

■内積の定義

$\vec{a}$ ， $\vec{b}$ のなす角を $θ$ とするとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | cos θ$ 　･･････(1)

を $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ の内積という．

$\vec{a} \cdot \vec{b}$ 代わりに $(\vec{a}, \vec{b})$ で表すこともある．

(1)より

$cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$ ，　･･････(2)

アークコサイン(コサインの逆関数)を用いると

$θ = \cos^{- 1} (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|})$ 　･･････(3)

(3)が得られ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ のなす角を $θ$ を求めることができる．

内積をベクトルの成分を用いて表す．

$\vec{a} = (a_{1}, a_{2})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ とすると

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

となる⇒導出．

$\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ とすると

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

となる⇒導出．

特に， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ のなす角が90°のとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

（平面ベクトルの場合： $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ ，空間ベクトルの場合： $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$ ）

となる．なぜならば，内積の定義より　

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 90 °$ $= |\vec{a}| |\vec{b}| \times 0 = 0$ 　･･････(2)

が得られ，この(2)を用いると

となる．

最終更新日 2024年8月6日