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応用分野: 積分 √(a^2-x^2)積分の計算手順2変数のテイラー(Taylor)の定理の導出根号を含む積分積分 1/(cosx)^3放物線の定積分積分 logx 積分 xlogx 積分 logx /(x^2)定数係数微分方程式 非同次項がe^(ax)のときの解の導出 xe^{(a-b1)x}の積分の計算積分 x^2*√(x^2+1)積分 √(x^2-a^2)ウォリス(ワリス)の公式:積分 (sinx)^n (cosx)^n積分 {e^(2x)}sinx積分 (x^n)e^x逆演算子の計算順序変更積分 xsinx積分を用いたテイラーの定理の導出ウォリス(ワリス)の公式:積分 (sinx)^n (cosx)^n
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部分積分法

不定積分

  • f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g ( x )
  • f ( x ) g ( x ) d x

定積分

  • a b f ( x ) g ( x ) d x = [ f ( x ) g ( x ) ] a b
  • a b f ( x ) g ( x ) d x


f( x )  と g( x )  の関係を逆にした表現もよくある.

不定積分

  • f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g ( x )
  • f ( x ) g ( x ) d x

定積分

  • a b f ( x ) g ( x ) d x = [ f ( x ) g ( x ) ] a b
  • a b f ( x ) g ( x ) d x

■関連動画

■利用上のポイント

関数の積の積分において,その一方が微分すると簡単になるときに有効である.

部分積分法を使った計算例は,ここにいくつか掲載している.

部分積分を行うと以下に示す特殊な場合がある.

  • 部分積分を行うと,右辺に左辺と同じ積分が現れる場合積分例

  • 部分積分を行うと漸化式となる場合積分例1積分例2

■部分積分法の公式の導出

関数の積の微分の公式

{ f( x )g( x ) } = f ( x )g( x )+f( x ) g ( x )

の両辺を積分し,式を整理すると,

  • { f ( x ) g ( x ) } d x = { f ( x ) g ( x )
  • + f ( x ) g ( x ) } d x

  • f ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ( x ) d x
  • + f ( x ) g ( x ) d x

  • f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g ( x )
  • f ( x ) g ( x ) d x

となり,部分積分法の公式が求まる.

 

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最終更新日: 2024年5月17日

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