部分積分法

【不定積分】

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)}$ ${\displaystyle -\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

【定積分】

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx={\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}_a^b}$ ${\displaystyle -{\int }_a^b{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

${\displaystyle f\left(x\right)}$  と ${\displaystyle g\left(x\right)}$  の関係を逆にした表現もよくある．

【不定積分】

${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)}$ ${\displaystyle -\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$

【定積分】

${\displaystyle {\int }_a^b{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx={\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}_a^b}$ ${\displaystyle -{\int }_a^{b}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$

■関連動画

■利用上のポイント

関数の積の積分において，その一方が微分すると簡単になるときに有効である．

部分積分法を使った計算例は，ここにいくつか掲載している．

部分積分を行うと以下に示す特殊な場合がある．

• 部分積分を行うと，右辺に左辺と同じ積分が現れる場合⇒積分例

• 部分積分を行うと漸化式となる場合⇒積分例1，積分例2

■部分積分法の公式の導出

関数の積の微分の公式

${\displaystyle {\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}$　･･････(1)

の両辺を積分し，式を整理すると

${\displaystyle \int {\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}}^{\prime }dx}$ ${\displaystyle =\int \left\{f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)\right\}dx}$

${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)}$ ${\displaystyle =\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx+\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

となり，不定積分の部分積分法の公式が求まる．

(1)を$a$から$b$の範囲で積分する．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^b{\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}}^{\prime }dx}}$${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_a^b\left\{f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)\right\}dx}}$

${\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}_a^b$${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_a^b{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}+{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}}$${\displaystyle ={\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}_a^b-{\displaystyle {\int }_a^b{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}}$

となり，定積分の部分積分法の公式が求まる．

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最終更新日： 2025年11月14日

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