置換積分法

$x = g (t)$ $x = g (t)$ の関係に置換したとき，

【不定積分】

$\int f (x) d x = \int f (x) \frac{d x}{d t} d t$ $\int f (x) d x = \int f (x) \frac{d x}{d t} d t$
$= \int f (g (t)) g^{'} (t) d t$ $= \int f (g (t)) g^{'} (t) d t$

【定積分】

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (x) \frac{d x}{d t} d t$ $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (x) \frac{d x}{d t} d t$
$= \int_{α}^{β} f (g (t)) g^{'} (t) d t$ $= \int_{α}^{β} f (g (t)) g^{'} (t) d t$

（ただし， $g (α) = a$ $g (α) = a$ ， $g (β) = b$ $g (β) = b$ ）

となる．

■置換方法の例

　ここを参照のこと．

■関連動画

■解説

置換積分の公式は合成関数の微分の公式に対応するものである．

関数 $f (x)$ $f (x)$ の原始関数の1つを $F (x)$ $F (x)$ とすると，

$F^{'} (x) = f (x)$ $F^{'} (x) = f (x)$ ・・・・・・(1)

$\int f (x) d x = F (x) + C$ $\int f (x) d x = F (x) + C$ （ $C$ $C$ ：積分定数）・・・・・・(2)

の関係がある．

また， $x = g (t)$ $x = g (t)$ の関係があると，関数 $F (x)$ $F (x)$ は，

$F (x) = F (g (t))$ $F (x) = F (g (t))$ ・・・・・・(3)

となる． $F (g (t))$ $F (g (t))$ を変数 $t$ $t$ で微分すると，合成関数の微分より，

${F (g (t))}^{'} = F^{'} (g (t)) g^{'} (t)$ ${F (g (t))}^{'} = F^{'} (g (t)) g^{'} (t)$ ・・・・・・(4)

両辺を変数 $t$ $t$ で積分すると

$\int {F (g (t))}^{'} d t + C = \int F^{'} (g (t)) g^{'} (t) d t$ $\int {F (g (t))}^{'} d t + C = \int F^{'} (g (t)) g^{'} (t) d t$ （積分定数 $C$ $C$ を左辺にまとめて入れている）

$F (g (t)) + C = \int F^{'} (g (t)) g^{'} (t) d t$ $F (g (t)) + C = \int F^{'} (g (t)) g^{'} (t) d t$ ・・・・・・(5)

$g (t) = x$ $g (t) = x$ を(5)の左辺に適用すると，

$F (x) + C = \int F^{'} (g (t)) g^{'} (t) d t$ $F (x) + C = \int F^{'} (g (t)) g^{'} (t) d t$ ・・・・・・(6)

(1)，(2)を(6)に適用すると，

$\int f (x) d x = \int f (g (t)) g^{'} (t) d t$ $\int f (x) d x = \int f (g (t)) g^{'} (t) d t$

となり，置換積分の公式が得られる．

あるいは， $x$ $x$ が $t$ $t$ の関数であると考えると，

$d x = \frac{d x}{d t} d t$ $d x = \frac{d x}{d t} d t$

であるので，簡単に置換積分の公式が得られる．微分形式を参照のこと．

定積分において，積分範囲は $x$ $x$ が $a \to b$ $a \to b$ に変化するとき， $t$ $t$ が $α \to β$ $α \to β$ に変化するので，積分範囲を変更する必要がある．

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最終更新日： 2024年5月17日