積分の公式を使った問題(定積分)

1. 次の定積分を解きなさい．

   • (1)

     ${\displaystyle {\int }_1^2\left(x^3-3x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}$

     ⇒解答

   • (2)

     ${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^4\frac{1}{8x+3}dx}$

     ⇒解答

   • (3)

     ${\displaystyle {\int }_2^4{e}^{\frac{1}{2}x}dx}$

     ⇒解答

   • (4)

     ${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{3}}^2{8}^{x}dx}$

     ⇒解答

   • (5)

     ${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}sin\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$

     ⇒解答

   • (6)

     ${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}cos\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$

     ⇒解答

   • (7)

     ${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{sec}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$

     ⇒解答

   • (8)

     ${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{-\frac{\pi }{6}}{\text{csc}}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$

     ⇒解答

   • (9)

     ${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}-1}\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$

     ⇒解答

   • (10)

     ${\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{4-2x^2}}dx}$

     ⇒解答

   • (11)

     ${\displaystyle {\int }_{-3}^0\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$

     ⇒ 解答

   • (12)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{\sin x}}dx}$

     ⇒解答

   • (13)

     ${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^1{\left(x\sqrt{1-x^2}\right)}^{3}dx}$

     ⇒解答

   • (14)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^2+1}{x+1}dx}}$

     ⇒解答

   • (15)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sin x\cos xdx}}$

     ⇒解答

   • (16)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^{e}x\log xdx}}$

     ⇒解答

   • (17)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^3\frac{4x}{1+x^2}}dx}$

     ⇒解答

   • (18)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{\frac{1}{4}}^1{16}^{x}dx}}$

     ⇒解答

   • (19)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1{x}^2{e}^x}dx}$

     ⇒解答

   • (20)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}dx}$

     ⇒解答

   • (21)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\frac{x}{{\left(1-x^2\right)}^{\frac{1}{3}}}}dx}$

     ⇒解答

   • (22)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-3}^{-4}x{(x+3)}^2}dx}$

     ⇒解答

   • (23)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{4-x^2}}dx}$

     ⇒解答

   • (24)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1{x}^2{e}^{x^3}}dx}$

     ⇒解答

   • (25)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{2}}{x}^2\sqrt{4-x^2}}dx}$

     ⇒解答

   • (26)

     ${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^1\sqrt{1-x^2}dx}$

     ⇒解答

   • (27)

     ${\displaystyle {\int }_2^{4}xlogxdx}$

     ⇒解答

   • (28)

     ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xcos2xdx}$

     ⇒解答

   • (29)

     ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^{7}xdx}$

     ⇒解答

   • (30)

     ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^{4}x{cos}^{2}xdx}$

     ⇒解答

   • (31)

     ${\displaystyle {\int }_0^{3}x{e}^{3x}dx}$

     ⇒解答

   • (32)

     ${\displaystyle {\int }_2^5\frac{1}{2xlog2x}dx}$

     ⇒解答

   • (33)

     ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{cos2x}{3+sin2x}dx}$

     ⇒解答

   • (34)

     ${\displaystyle {\int }_0^6\left|\frac{x}{2}-1\right|dx}$

     ⇒解答

   • (35)

     ${\displaystyle {\int }_1^3{4}^{x}dx}$

     ⇒解答

   • (36)

     ${\displaystyle {\int }_3^7\frac{1}{x^2-1}dx}$

     ⇒解答

   • (37)

     ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx}$

     ⇒解答

   • (38)

     ${\displaystyle {\int }_1^{2}2dx}$

     ⇒解答

   • (39)

     ${\displaystyle {\int }_1^{2}2xdx}$

     ⇒解答

   • (40)

     ${\displaystyle {\int }_1^4{x}^{2}dx}$

     ⇒解答

   • (41)

     ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^{4}x{e}^{3x}dx}}$

     ⇒解答

2. 次の曲線,直線, ${\displaystyle x}$ 軸で囲まれた面積を求めよ.

   • (1)

     ${\displaystyle y=x^2-2x-3}$ と ${\displaystyle x}$ 軸

     ⇒解答

   • (2)

     ${\displaystyle y=x^2-x-1}$ と ${\displaystyle y=2x+3}$

     ⇒解答

   • (3)

     ${\displaystyle y=3x^2+1}$ ， ${\displaystyle x=1}$ ， ${\displaystyle x=3}$

     ⇒解答

   • (4)

     ${\displaystyle y=x^2-2x-1}$ と ${\displaystyle y=-x^2+x+8}$

     ⇒解答

   • (5)

     ${\displaystyle {y=x}^2+4x-3}$ と ${\displaystyle {y=-x}^2+2x+1}$

     ⇒解答

   • (6)

     ${\displaystyle y=-x^4+2x^3}$ ， ${\displaystyle x}$ 軸， ${\displaystyle x=1}$

     ⇒解答

   • (7)

     ${\displaystyle {y=x}^2+4x-3}$ と ${\displaystyle {y=-x}^2+2x+1}$

     ⇒解答

   • (8)

     ${\displaystyle y=-x^4+2x^3}$ ， ${\displaystyle x}$ 軸， ${\displaystyle x=1}$ ，ただし， ${\displaystyle x\geqq 1}$ とする．

     ⇒解答

3. 次の計算を区分求積法を用いて求めよ．
   • (1) 曲線 ${\displaystyle f\left(x\right)=2x^2}$ と ${\displaystyle x}$ 軸と直線 ${\displaystyle x=0}$ ， ${\displaystyle x=1}$ で囲まれた面積を左端区分求積法より求めよ．　⇒解答
   • (2) 曲線 ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ と ${\displaystyle x}$ 軸と直線 ${\displaystyle x=1}$ ， ${\displaystyle x=3}$ で囲まれた面積を右端区分求積法より求めよ．　⇒解答
4. 次の平面図形の重心を求めなさい．
   • (1) 直線  ${\displaystyle y=\frac{3}{2}x}$ と直線 $x=2$ と ${\displaystyle x}$ 軸で囲まれた図形　⇒解答
   • (2) 曲線  ${\displaystyle y=\frac{3}{4}{x}^2}$ と直線 $x=2$ と ${\displaystyle x}$ 軸に囲まれた図形　⇒解答
   • (3) 直線 ${\displaystyle y=\frac{2}{3}x}$ と直線 $y=2$ と ${\displaystyle y}$ 軸に囲まれた図形　⇒解答
   • (4) 曲線  ${\displaystyle y=\frac{3}{4}{x}^2}$ と直線 $y=3$ と ${\displaystyle y}$ 軸に囲まれた図形　⇒解答
   • (5) 曲線 ${\displaystyle y=\sqrt{9-x^2}}$ と ${\displaystyle x}$ 軸と ${\displaystyle y}$ 軸に囲まれた図形，ただし， ${\displaystyle x\geqq 0}$ とする．⇒解答
   • (6) 直線 ${\displaystyle y=x}$ と曲線 ${\displaystyle y=x^2-4x+4}$ で囲まれた図形　⇒解答
5. 次の立体の重心を求めなさい．
   • (1) 直線 ${\displaystyle y=\frac{3}{2}x}$ と直線 $x=2$ と ${\displaystyle x}$ 軸で囲まれた図形を 軸の周りに ${\displaystyle 1}$ 回転してできる回転体　⇒解答
   • (2)
     
     図のような底面の半径が ${\displaystyle R}$ ，高さが ${\displaystyle H}$ の円錐　⇒解答
   • (3)
     
     図のような底面の面積が ${\displaystyle A}$ ，高さが ${\displaystyle H}$ とする角錐　⇒解答
   • (4)
     
     図のような半径 $R$ の半球　⇒解答
6. 次の曲線の長さを求めなさい．
   • (1) 曲線  ${\displaystyle y=\frac{1}{2}{x}^2}$ ${\displaystyle \left(0\leqq x\leqq 1\right)}$ の長さ　⇒解答
7. 次の問題を解きなさい．
   • (1) ${\displaystyle y=x+\sqrt{x^2+5}}$ の逆関数を ${\displaystyle y=f(x)}$ とする．　⇒解答

     　[1] ${\displaystyle f(x)}$ を求めよ．

     　[2]定積分 ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{\sqrt{5}}^{5}f(x)dx}}$ を求めよ．

   • (2) ${\displaystyle y=x{e}^x(x\ge 0)}$ の逆関数を ${\displaystyle y=f(x)}$ とおく. 定積分 ${\displaystyle {\int }_0^{e}f(x)dx}$ を求めよ．　⇒解答
   • (3)
     
     質量 ${\displaystyle M}$ の物体があり，図のようにばねでつながれている．物体を原点から点 ${\displaystyle \text{A}}$ までゆっくりと動かしたとき，弾性力(Elastic Force)のした仕事を求めよ．ただし，ばね定数は ${\displaystyle k}$ ，ばねの自然長は ${\displaystyle l}$ とし，物体はばねの弾性力により持ち上がることはないとする． ⇒解答

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最終更新日： 2025年3月12日