行列式に関する問題

1. サラスの規則を用いて次の行列式の値を求めよ．

   • (1) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}8& 5& -3\\ 0& 7& 3\\ -2& -1& 1\end{array}\right|}$　⇒ 解答

   • (2) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}5& 7& 0\\ 3& 4& -1\\ 4& 8& -2\end{array}\right|}$　⇒ 解答

   • (3) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}3& 0& 6\\ 15& 5& 13\\ 21& 0& 7\end{array}\right|}$　⇒ 解答

   • (4) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}2& -3& 1\\ 1& 2& 2\\ 5& -2& 3\end{array}\right|}$　⇒ 解答

   • (5) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}3& -1& 4\\ 2& 6& -1\\ -1& 4& 2\end{array}\right|}$　⇒ 解答
2. 次の行列式の値を求めよ。

   • (1) ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 1\\ 1& 2& 1& 2\\ 4& 1& 5& 1\\ 2& 1& 1& 2\end{array}\right|}$　⇒ 解答

   • (2)  ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}2& -2& 4& 2\\ 2& -1& 0& 3\\ 3& -2& 0& 12\\ -1& 2& -4& 4\end{array}\right|}$　⇒  解答

   • (3)  ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}2& 4& -2& 1\\ -1& -1& 2& 3\\ 2& 6& 4& 2\\ 1& 3& 3& 9\end{array}\right|}$　⇒ 解答

   • (4) ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}3& 4& 2& 1\\ -1& -1& 2& 1\\ 2& 6& 4& 2\\ 1& 3& 3& 2\end{array}\right|}$　⇒ 解答

   • (5)  ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}3& 2& -2& 1\\ 1& -1& 2& 1\\ 2& 6& -4& 2\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right|}$　⇒ 解答

   • (6)${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}2& -1& 2& 1\\ 4& -1& 6& 3\\ -2& 2& 4& 2\\ -6& 5& 3& 9\end{array}\right|}$ 　⇒  解答

   • (7) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccccc}1& 3& -2& -3& -1\\ -2& 1& 4& -3& 2\\ 4& 5& -3& 1& 2\\ 3& -2& 1& 2& -3\\ 2& 2& 3& -4& -1\end{array}\right|}$　⇒  解答
3. 次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

   • (1) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|}$  ⇒ 解答

   • (2) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& a& b^2-c^2\\ 1& b& a^2-c^2\\ 1& c& b^2-a^2\end{array}\right|}$  ⇒ 解答

   • (3) ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x& x+1& x+2& x+3\\ x+1& x+2& x+3& x\\ x+2& x+3& x& x+1\\ x+3& x& x+1& x+2\end{array}\right|}$  ⇒ 解答

   • (4) ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1& x& x^2& x^3\\ x& x^2& x^3& 1\\ x^2& x^3& 1& x\\ x^3& 1& x& x^2\end{array}\right|}$  ⇒ 解答

   • (5) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}x-1& 1& x\\ 1& x-1& x\\ 1& 1& x-1\end{array}\right|}$ ⇒ 解答

   • (6) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& 1& x+1\\ 1& x+1& 1\\ x+1& 1& 1\end{array}\right|}$⇒ 解答

   • (7) ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x-1& 1& 1& 1\\ 1& x-1& 1& 1\\ 1& 1& x-1& 1\\ 1& 1& 1& x-1\end{array}\right|}$⇒ 解答

   • (8) ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& x+1\\ 1& 1& x-1& x\\ 1& x+1& 1& x\\ x-1& 1& 1& x\end{array}\right|}$ ⇒ 解答

   • (9) ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x+1& 1& 1& x\\ 1& x+1& 1& x\\ 1& 1& x+1& x\\ 1& 1& 1& x+1\end{array}\right|}$ ⇒ 解答

   • (10) ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x+1& x-4& x+4& x+1\\ x+2& x-3& x+2& x+3\\ x-1& x-2& x-3& x-2\\ x+4& x-1& x-1& x-4\end{array}\right|}$ ⇒ 解答

   • (11) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccccc}1& 1& x+1& 1& 1\\ 1& x+1& 1& x+1& 1\\ x+1& 1& x+1& 1& x+1\\ 1& x+1& 1& x+1& 1\\ 1& 1& x+1& 1& 1\end{array}\right|}$ ⇒ 解答
4. 次の行列式の値をまず第2列で展開(余因子展開)してから求めよ(展開していることが分かるように計算過程を書くこと)。

   • (1) ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}5& 7& 0\\ 3& 4& -1\\ 4& 8& -2\end{array}\right|}$  ⇒ 解答

   • (2)  ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}9& 2& 0\\ 6& 3& -1\\ 12& 5& 2\end{array}\right|}$  ⇒ 解答

   • (3)  ${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}x& 1& 2\\ 1& 2x& 3\\ 2& 3& 3x\end{array}\right|}$  ⇒ 解答

   • (4)  ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}2& 5& 11& 3\\ 3& 8& 6& 2\\ 4& 12& 8& 7\\ 7& 9& 2& 5\end{array}\right|}$  ⇒ 解答

   • (5)  ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}3& 2& 8& -1\\ 4& -5& -2& 3\\ 1& 3& 2& 4\\ -5& 7& 5& 1\end{array}\right|}$  ⇒ 解答

   • (6)  ${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x& 1& 2& 3\\ 1& x+1& 4& 5\\ 2& 3& 2x& 6\\ 4& 5& 6& 2x+1\end{array}\right|}$  ⇒解答
5. 次の行列${\displaystyle A}$ の逆行列 ${\displaystyle A^{-1}}$ を求めよ。

   • (1) ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 4& 1\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

   • (2) ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}-6& 2\\ -3& 8\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

   • (3) ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -4& 5\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

   • (4) ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}9& 13\\ -4& -7\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

   • (5) ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& -1& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

   • (6) ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 6\\ 3& 4& 6& 9\\ 4& 6& 9& 10\end{array}\right)}$  ⇒ 解答
6. 次の連立1次方程式をクラメルの公式を用いて解け。

   • (1) ${\displaystyle \{\begin{array}{l}x+4y=8\\ 2x+5y=6\end{array}}$  ⇒ 解答

   • (2) ${\displaystyle \{\begin{array}{c}x+2y+3z=0\\ x+y-z=4\\ x+2y-4z=7\end{array}}$ ⇒ 解答

   • (3) ${\displaystyle \{\begin{array}{c}2x-y+4z=-7\\ -3x+4y-z=18\\ x+2y-\mathrm{3z}=4\end{array}}$ ⇒ 解答

   • (4) ${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x+2y-3z=3\\ -2x-4y+z=4\\ 2x+y+z=4\end{array}\right.}$ ⇒ 解答

   • (5) ${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a-2b-c+2d=3\\ -2a+b+3c-2d=0\\ -a-b+2c+2d=1\\ 3a+4b-c+d=-2\end{array}\right.}$ ⇒ 解答

   • (6) ${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a+2b+2c-3d=-5\\ -2a+b-2c+2d=-2\\ -a-b+\mathrm{3c}-d=-2\\ -2a-2b+c+d=1\end{array}\right.}$ ⇒ 解答
7. 次のベクトルの組は1次独立か，1次従属かを調べよ。

   • (1) ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)}$, ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-3\\ 9\end{array}\right)\in R^2}$  ⇒ 解答

   • (2) ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$, ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)}$, ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)\in R^3}$  ⇒ 解答

   • (3) ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\end{array}\right)}$,${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)}$, ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)\in R^3}$   ⇒ 解答
8. 次のベクトルの組が1次従属となるようなtの値を求めよ。

   • (1) ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)}$，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}t\\ 3\end{array}\right)\in R^2}$  ⇒ 解答

   • (2) ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-1\\ t\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}t\\ -2\end{array}\right)\in R^2}$ ⇒ 解答

   • (3) ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 6\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 1\end{array}\right)\in R^3}$   ⇒ 解答

   • (4) ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -1\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 1\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ t\end{array}\right)\in R^3}$   ⇒ 解答

   • (5)  ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ t\\ 0\end{array}\right)}$,${\displaystyle \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ t\end{array}\right)}$,${\displaystyle \left(\begin{array}{c}t\\ 0\\ 1\\ 2\end{array}\right)}$,${\displaystyle \left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 0\\ 1\end{array}\right)\in R^4}$  ⇒ 解答
9. 次の行列の固有値を求めよ。

   • (1) ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 1\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

   • (2) ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -1& -2\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

   • (3) ${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

   • (4) ${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

   • (5) ${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}2& 3& 3\\ 3& 2& 3\\ 3& 3& 2\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

   • (6) ${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1& -2& -2& -2\\ -2& 1& -2& -2\\ -2& -2& 1& -2\\ -2& -2& -2& 1\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

   • (7) ${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}2& 7& 7& 7\\ 7& 2& 7& 7\\ 7& 7& 2& 7\\ 7& 7& 7& 2\end{array}\right)}$  ⇒ 解答

10.  ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& -1\end{array}\right)}$ を行列${\displaystyle P}$ を用いて対角化せよ．  ⇒ 解答

11. 次の問題に答えよ．<発展>

    (1)  ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ -2& 1\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}2& y\\ -1& x\end{array}\right)}$ で， ${\displaystyle \left|B\right|=2}$ ， ${\displaystyle \left|AB\right|=4}$ である．${\displaystyle x}$，${\displaystyle y}$を求めよ．  ⇒ 解答

    (2)  ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)}$ とし，${\displaystyle X=\mathrm{AB}}$ ，${\displaystyle Y=\mathrm{BA}}$ ，${\displaystyle X^2=O}$ とする．

    [i] ${\displaystyle X}$と${\displaystyle Y}$はいずれも逆行列をもたないことを示せ．　

    [ii] ${\displaystyle Y^2=O}$ であることを示せ．  ⇒ 解答

    (3) 以下の連立方程式が${\displaystyle x=y=0}$ 以外の解をもつように，定数${\displaystyle k}$ の値を求めよ．

    ${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}-x+\left(2-3k\right)y=0\\ x-2ky=0\end{array}\right.}$  ⇒ 解答

 

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最終更新日： 2023年10月11日