行列式に関する問題

サラスの規則を用いて次の行列式の値を求めよ．

(1)

$| \begin{matrix} 8 & 5 & - 3 \\ 0 & 7 & 3 \\ - 2 & - 1 & 1 \end{matrix} |$ 　⇒ 解答

(2)

$| \begin{matrix} 5 & 7 & 0 \\ 3 & 4 & - 1 \\ 4 & 8 & - 2 \end{matrix} |$ 　⇒ 解答

(3)

$| \begin{matrix} 3 & 0 & 6 \\ 15 & 5 & 13 \\ 21 & 0 & 7 \end{matrix} |$ 　⇒ 解答

(4)

$|\begin{matrix} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 5 & - 2 & 3 \end{matrix}|$ 　⇒ 解答

(5)

$|\begin{matrix} 3 & - 1 & 4 \\ 2 & 6 & - 1 \\ - 1 & 4 & 2 \end{matrix}|$ 　⇒ 解答

次の行列式の値を求めよ。

(1)

$| \begin{matrix} 2 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} |$ 　⇒ 解答

(2)

$| \begin{matrix} 2 & - 2 & 4 & 2 \\ 2 & - 1 & 0 & 3 \\ 3 & - 2 & 0 & 12 \\ - 1 & 2 & - 4 & 4 \end{matrix} |$ 　⇒ 解答

(3)

$| \begin{matrix} 2 & 4 & - 2 & 1 \\ - 1 & - 1 & 2 & 3 \\ 2 & 6 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 3 & 9 \end{matrix} |$ 　⇒ 解答

(4)

$| \begin{matrix} 3 & 4 & 2 & 1 \\ - 1 & - 1 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 3 & 2 \end{matrix} |$ 　⇒ 解答

(5)

$| \begin{matrix} 3 & 2 & - 2 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & - 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{matrix} |$ 　⇒ 解答

(6)

$| \begin{matrix} 2 & - 1 & 2 & 1 \\ 4 & - 1 & 6 & 3 \\ - 2 & 2 & 4 & 2 \\ - 6 & 5 & 3 & 9 \end{matrix} |$ 　⇒ 解答

(7)

$|\begin{matrix} 1 & 3 & - 2 & - 3 & - 1 \\ - 2 & 1 & 4 & - 3 & 2 \\ 4 & 5 & - 3 & 1 & 2 \\ 3 & - 2 & 1 & 2 & - 3 \\ 2 & 2 & 3 & - 4 & - 1 \end{matrix}|$ 　⇒ 解答

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

(1)

$| \begin{matrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{matrix} |$ ⇒ 解答

(2)

$|\begin{matrix} 1 & a & b^{2} - c^{2} \\ 1 & b & a^{2} - c^{2} \\ 1 & c & b^{2} - a^{2} \end{matrix}|$ ⇒ 解答

(3)

$|\begin{matrix} x & x + 1 & x + 2 & x + 3 \\ x + 1 & x + 2 & x + 3 & x \\ x + 2 & x + 3 & x & x + 1 \\ x + 3 & x & x + 1 & x + 2 \end{matrix}|$ ⇒ 解答

(4)

$|\begin{matrix} 1 & x & x^{2} & x^{3} \\ x & x^{2} & x^{3} & 1 \\ x^{2} & x^{3} & 1 & x \\ x^{3} & 1 & x & x^{2} \end{matrix}|$ ⇒ 解答

(5)

$| \begin{matrix} x - 1 & 1 & x \\ 1 & x - 1 & x \\ 1 & 1 & x - 1 \end{matrix} |$ ⇒ 解答

(6)

$| \begin{matrix} 1 & 1 & x + 1 \\ 1 & x + 1 & 1 \\ x + 1 & 1 & 1 \end{matrix} |$ ⇒ 解答

(7)

$|\begin{matrix} x - 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x - 1 \end{matrix}|$ ⇒ 解答

(8)

$|\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & x + 1 \\ 1 & 1 & x - 1 & x \\ 1 & x + 1 & 1 & x \\ x - 1 & 1 & 1 & x \end{matrix}|$ ⇒ 解答

(9)

$|\begin{matrix} x + 1 & 1 & 1 & x \\ 1 & x + 1 & 1 & x \\ 1 & 1 & x + 1 & x \\ 1 & 1 & 1 & x + 1 \end{matrix}|$ ⇒ 解答

(10)

$|\begin{matrix} x + 1 & x - 4 & x + 4 & x + 1 \\ x + 2 & x - 3 & x + 2 & x + 3 \\ x - 1 & x - 2 & x - 3 & x - 2 \\ x + 4 & x - 1 & x - 1 & x - 4 \end{matrix}|$ ⇒ 解答

(11)

$| \begin{matrix} 1 & 1 & x + 1 & 1 & 1 \\ 1 & x + 1 & 1 & x + 1 & 1 \\ x + 1 & 1 & x + 1 & 1 & x + 1 \\ 1 & x + 1 & 1 & x + 1 & 1 \\ 1 & 1 & x + 1 & 1 & 1 \end{matrix} |$ ⇒ 解答

次の行列式の値をまず第2列で展開(余因子展開)してから求めよ(展開していることが分かるように計算過程を書くこと)。

(1)

$| \begin{matrix} 5 & 7 & 0 \\ 3 & 4 & - 1 \\ 4 & 8 & - 2 \end{matrix} |$ ⇒ 解答

(2)

$| \begin{matrix} 9 & 2 & 0 \\ 6 & 3 & - 1 \\ 12 & 5 & 2 \end{matrix} |$ ⇒ 解答

(3)

$|\begin{matrix} x & 1 & 2 \\ 1 & 2 x & 3 \\ 2 & 3 & 3 x \end{matrix}|$ ⇒ 解答

(4)

$| \begin{matrix} 2 & 5 & 11 & 3 \\ 3 & 8 & 6 & 2 \\ 4 & 12 & 8 & 7 \\ 7 & 9 & 2 & 5 \end{matrix} |$ ⇒ 解答

(5)

$|\begin{matrix} 3 & 2 & 8 & - 1 \\ 4 & - 5 & - 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 7 & 5 & 1 \end{matrix}|$ ⇒ 解答

(6)

$|\begin{matrix} x & 1 & 2 & 3 \\ 1 & x + 1 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 2 x & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$ ⇒解答

次の行列

$A$ の逆行列

$A^{- 1}$ を求めよ。

(1)

$A = (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 4 & 1 \end{matrix})$ ⇒ 解答

(2)

$A = (\begin{matrix} - 6 & 2 \\ - 3 & 8 \end{matrix})$ ⇒ 解答

(3)

$A = (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ - 4 & 5 \end{matrix})$ ⇒ 解答

(4)

$A = (\begin{matrix} 9 & 13 \\ - 4 & - 7 \end{matrix})$ ⇒ 解答

(5)

$A = (\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & - 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix})$ ⇒ 解答

(6)

$A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 6 \\ 3 & 4 & 6 & 9 \\ 4 & 6 & 9 & 10 \end{matrix})$ ⇒ 解答

次の連立1次方程式をクラメルの公式を用いて解け。

(1)

${\begin{cases} x + 4 y = 8 \\ 2 x + 5 y = 6 \end{cases}$ ⇒ 解答

(2)

${\begin{matrix} x + 2 y + 3 z = 0 \\ x + y - z = 4 \\ x + 2 y - 4 z = 7 \end{matrix}$ ⇒ 解答

(3)

${\begin{matrix} 2 x - y + 4 z = - 7 \\ - 3 x + 4 y - z = 18 \\ x + 2 y - 3z = 4 \end{matrix}$ ⇒ 解答

(4)

$\{\begin{matrix} x + 2 y - 3 z = 3 \\ - 2 x - 4 y + z = 4 \\ 2 x + y + z = 4 \end{matrix}$ ⇒ 解答

(5)

$\{\begin{matrix} a - 2 b - c + 2 d = 3 \\ - 2 a + b + 3 c - 2 d = 0 \\ - a - b + 2 c + 2 d = 1 \\ 3 a + 4 b - c + d = - 2 \end{matrix}$ ⇒ 解答

(6)

$\{\begin{matrix} a + 2 b + 2 c - 3 d = - 5 \\ - 2 a + b - 2 c + 2 d = - 2 \\ - a - b + 3c - d = - 2 \\ - 2 a - 2 b + c + d = 1 \end{matrix}$ ⇒ 解答

次のベクトルの組は1次独立か，1次従属かを調べよ。

(1)

$(\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ ,

$(\begin{matrix} - 3 \\ 9 \end{matrix}) \in R^{2}$ ⇒ 解答

(2)

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ ,

$(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ ,

$(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \in R^{3}$ ⇒ 解答

(3)

$(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})$ ,

$(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$ ,

$(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) \in R^{3}$ ⇒ 解答

次のベクトルの組が1次従属となるようなtの値を求めよ。

(1)

$(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$ ，

$(\begin{matrix} t \\ 3 \end{matrix}) \in R^{2}$ ⇒ 解答

(2)

$(\begin{matrix} - 1 \\ t \end{matrix})$ ，

$(\begin{matrix} t \\ - 2 \end{matrix}) \in R^{2}$ ⇒ 解答

(3)

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ ，

$(\begin{matrix} 2 \\ t \\ 6 \end{matrix})$ ，

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) \in R^{3}$ ⇒ 解答

(4)

$(\begin{matrix} t \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})$ ，

$(\begin{matrix} 1 \\ t \\ 1 \end{matrix})$ ，

$(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ t \end{matrix}) \in R^{3}$ ⇒ 解答

(5)

$(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ t \\ 0 \end{matrix})$ ,

$(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ t \end{matrix})$ ,

$(\begin{matrix} t \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ ,

$(\begin{matrix} 2 \\ t \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \in R^{4}$ ⇒ 解答

次の行列の固有値を求めよ。

(1)

$(\begin{matrix} 4 & - 2 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ ⇒ 解答

(2)

$(\begin{matrix} 3 & 4 \\ - 1 & - 2 \end{matrix})$ ⇒ 解答

(3)

$(\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})$ ⇒ 解答

(4)

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix})$ ⇒ 解答

(5)

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{matrix})$ ⇒ 解答

(6)

$(\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 & - 2 \\ - 2 & 1 & - 2 & - 2 \\ - 2 & - 2 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 1 \end{matrix})$ ⇒ 解答

(7)

$(\begin{matrix} 2 & 7 & 7 & 7 \\ 7 & 2 & 7 & 7 \\ 7 & 7 & 2 & 7 \\ 7 & 7 & 7 & 2 \end{matrix})$ ⇒ 解答

$A = (\begin{matrix} 4 & - 3 \\ 2 & - 1 \end{matrix})$ を行列 $P$ を用いて対角化せよ． ⇒ 解答
次の問題に答えよ．<発展>
(1) $A = (\begin{matrix} x & y \\ - 2 & 1 \end{matrix})$ ， $B = (\begin{matrix} 2 & y \\ - 1 & x \end{matrix})$ で， $| B | = 2$ ， $| A B | = 4$ である． $x$ ， $y$ を求めよ． ⇒ 解答

(2) $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ ， $B = (\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix})$ とし， $X = AB$ ， $Y = BA$ ， $X^{2} = O$ とする．

[i] $X$ と $Y$ はいずれも逆行列をもたないことを示せ．　

[ii] $Y^{2} = O$ であることを示せ． ⇒ 解答

(3) 以下の連立方程式が $x = y = 0$ 以外の解をもつように，定数 $k$ の値を求めよ．

$\{\begin{matrix} - x + (2 - 3 k) y = 0 \\ x - 2 k y = 0 \end{matrix}$ ⇒ 解答

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最終更新日： 2023年10月11日